i

虛數單位“i”首先為瑞士數學家歐拉所創用，到德國數學家高斯提倡才普遍使用。高斯第一個引進術語“複數”並記作a+bi。“虛數”一詞首先由笛卡兒提出。早在1800年就有人用(a，b)點來表示a+bi，他們可能是柯蒂斯、棣莫佛、歐拉以及范德蒙。把a+bi用向量表示的最早的是挪威人卡斯巴·魏塞爾，並且由他第一個給出複數的向量運演演算法則。“i”這個符號來源於法文imkginaire——“虛”的第一個字母，不是來源於英文imaginarynumber(或imaginaryquautity)。複數集C來源於英文complexnumber(複數)一詞的第一個字母。

引進一個新數i，叫做虛數單位，並規定：

(1)它的平方等於-1，即i²=-1.

(2)實數可以與它進行四則運算。進行四則運算時，原有的加法、乘法運算率仍然成立。

x2+1=0

x2=-1

虛數單位i定義為二次方程式 的兩個解中的一個解。這方程式又可等價表達為

所以虛數單位同樣可以表示為：

由於實數的平方絕不可能是負數，我們假設有這麼一個數目解答，給它設定一個符號i。很重要的一點是,i是一個自定義的數學構造。

虛數單位有時記為。但是，使用這種記法時需要非常謹慎，這是因為有些在實數範圍內成立的公式在複數範圍內並不成立。

公式 僅對於非負的實數和才成立。

為了避免這種錯誤，盡量不要用平方根來表示虛數。例如我們不應使用，而應使用。

實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時，我們只需要假設i是一個未知數，然後依照i的定義，替代任何 的出現為-1的更高整數冪數也可以替代為-i，1或i，

一般地，有以下的公式：

其中mod4表示被4除的餘數。

方程 有兩個不同的解，它們都是有效的，且互為共軛複數。更加確切地，一旦固定了方程的一個解i，那麼−i（不等於i）也是一個解，由於這個方程是唯一的定義，因此這個定義表面上有歧義。然而，只要把其中一個解選定，並固定為i，那麼實際上是沒有歧義的。這是因為，雖然−i和i在數量上不是相等的（它們是一對共軛虛數），但是i和−i之間沒有質量上的區別（−1和+1就不是這樣的）。如果所有的數學書和出版物都把虛數或複數中的+i換成−i，而把−i換成−(−i) = +i，那麼所有的事實和定理都依然是正確的。

許多實數的運算都可以推廣到，例如平方根、冪、對數和三角函數。

平方根

以i為底的對數

餘弦

正弦