零向量

mod（模）等於零的向量叫做零向量，記作0。

在數學中，向量（也稱為歐幾里得向量、幾何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指：代表向量的方向；線段長度：代表向量的大小。與向量對應的只有大小，沒有方向的量叫做數量（物理學中稱標量）。

向量的記法：印刷體記作粗體的字母（如a、b、u、v），書寫時在字母頂上加一小箭頭“→”。如果給定向量的起點（A）和終點（B），可將向量記作AB（並於頂上加→）。在空間直角坐標系中，也能把向量以數對形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。

在物理學和工程學中，幾何向量更常被稱為矢量。許多物理量都是矢量，比如一個物體的位移，球撞向牆而對其施加的力等等。與之相對的是標量，即只有大小而沒有方向的量。一些與向量有關的定義亦與物理概念有密切的聯繫，例如向量是對應於物理中的勢能。

幾何向量的概念在線性代數中經由抽象化，得到更一般的向量概念。此處向量定義為向量空間的元素，要注意這些抽象意義上的向量不一定以數對錶示，大小和方向的概念亦不一定適用。因此，平日閱讀時需按照語境來區分文中所說的"向量"是哪一種概念。不過，依然可以找出一個向量空間的基來設置坐標系，也可以透過選取恰當的定義，在向量空間上界定范數和內積，這允許我們把抽象意義上的向量類比為具體的幾何向量。

注意零向量的方向是無法確定的。但我們規定：零向量的方向與任一向量平行，與任意向量共線，與任意向量垂直。

零向量的方向不確定，但模的大小確定。但是注意向量與向量不能比較大小。例如，若向量a的模大於零，則向量a大於零向量的說法是錯誤的，因為實數之間可用比較大小，而向量之間不能比較大小。

零向量與任意向量的數量積為0。

（1）零向量的方向不是任意的，而是無法確定的

我們知道既有大小，又有方向的量叫做向量，而零向量概念只規定其大小為0，並沒有談及方向問題，那麼零向量的方向到底怎樣呢?按照向量的概念，零向量也是有方向的。由於受到有些教輔書的誤導，不少的老師和學生都認為“零向量的方向是任意的”，我想這種說法的根據可能就是“零向量與任意向量平行”的規定，但是，李文明 認為這種說法是錯誤的，因為兩個非零向量平行是指同向或反向的兩個向量，“零向量與任意向量平行”的這種規定，並沒有規定零向量方向如何。當規定中的任意向量是非零向量，我們也不能認為零向量的方向與這個非零向量的方向相同或相反;當規定中的任意向量是零向量，我們更是無法確定兩個零向量的方向。由此可見，零向量的方嚮應該是“不確定的”，或者說是無法確定的，也就是說給我們一個零向量，沒有人能夠指出它的方向。換句話說零向量(起點與終點重合的向量)是退化的向量，它已經退化到只能確定其大小，而無法確定其方向的一類特殊向量。

（2）零向量與任意向量都是平行的

這是平行向量概念中的明確規定，也就是說零向量與任意向量都是共線的;這種規定使得任意兩個平面向量的位置關係只有兩種:共線或不共線，二者必居其一，也就是說平面向量可以分為兩類:一類是共線向量，一類是不共線向量;不共線的兩個向量一定是兩個非零向量。 

例1，判斷下列命題的真假

（1）a·b=a·c可以推出a=0或b=c

（2）a·（b·c）-（a·b）·c=0

（1）假

（2）假

例2，與a平行的單位向量的個數有：

答當a不是零向量時，有兩個；當a是零向量是有無數個。所以答案是兩個或無數個。

零向量是否可以與其它向量垂直？

人教A版必修4對零向量垂直問題採取了迴避的態度。

人們的探討主要有以下三種觀點。

徠1.肯定“零向量與任一向量垂直”的主要有以下一些觀點：

（1）零向量平行於任何向量，那麼零向量也平行於向量ａ的法向量，於是零向量垂直於向量ａ．否定了零向量與任一向量垂直，就是否定了零向量與任一向量平行．

（2）零向量在幾何中的意義退化為一個點，點既然與線段平行，點同樣也垂直於線段．

（3）兩者沒有本質性的對立，高等數學中一般認為0與任一向量垂直．為了與大學接軌，0可以與任一向量垂直．

2.持否定態度的觀點主要有：

（1）不能與任意向量垂直．由於0方向的任意性，如果與某一向量的夾角為90°，那麼也可以為任意度數．

（2）中學課本規定了零向量與任意向量平行，就相當於把零向量與任意向量的關係的唯一性確定了，無須再談垂直的情況．

（3）與向量共線定理相矛盾．平面向量共線定理：向量ａ（ａ≠0）與ｂ共線，當且僅當有唯一一個實數λ，使ｂ＝λａ．現在令λ＝0，那麼ｂ＝0，因為0可以和向量ａ垂直，所以ｂ不一定平行於ａ．

（4）忠於課本．（儘管僅僅是為了忠於教材這個理由有點牽強，但這卻是很多人做出選擇的主要理由．這也從一個側面反映出作為權威媒介的教材的重要性．）

（以上內容摘自由一道高考題引發“零向量垂直問題”的探討湖北武漢華中師範大學數學與統計學學院胡婷婷）

3.關注本質，應把精力集中在核心的、更重要的內容上。

（1）零向量的核心意義，就像實數集中的0在運算中的地位一樣由於零向量的位置特殊，數學家們約定“零向

量的方向不確定”.這樣，在處理問題時，可根據需要讓零向量與某一向量平行或垂直。這是一種人為的、合乎習慣的並是方便於應用的規定，就像“0既不是正數，也不是負數”(其實也可說成“0既是正數，也是負數”)的作用一樣.

（2）向量有它的幾何原型—有向線段，而且我們藉助於幾何圖形，用“三角形法則”等定義它的運算，因此“向量集數與形於一身”.如果從幾何角度看向量的運算和運算律的意義，就有了解決幾何問題的向量法，而且向量法的力量無限。這種力量集中體現在它僅用“向量相加的首尾相接法則”、“向量數乘的意義和運算律”、“向量數量積的意義和運算律”、“平面向量基本定理”等四條基本法則來解決幾何問題。這些是中學向量教學應關注的核心問題。把精力集中在核心知識的研究上。

(以上引自把精力集中在核心知識的研究上的中小學數學（高中）2010.9）

1.a+o=a

2.a-o=a

3.a·o=o·a=o(a為非向量)

4.a+（-a）=0