集族
集族
集族是一種特殊的集合，以集合為元素的集合稱為集族。例如，集A的冪集P(A)是一個集族，P(P(A))，P(P(P(A))都是集族。又例如，由空集φ、集合A=1，2，3作為元素的集合M=φ，A是一個集族。注意，由空集φ作為元素的集合是一個集族，它已不是空集，即A=φ，它不同於。在這裡，A= φ是具有一個元素的集合，是單元素集。集族常用花體字母A，B，C等表示，取A為標號集，A到集族A的一一對應(雙射)為f:a→Aa，則集族A可記為Aa|a∈A或Aaa∈A。當A為線性序集…,a,…,b,…,c,…時，集族…,Aa,…,Ab,…,Ac,…稱為集列。
集族（family of sets）是由具有某種性質的一些集合所構成的集合，即“集合的集合”。例如，平面上的圓盤是集合，因此平面上一切圓盤所成的集合就是一個集族。又如一個集合的一切子集所構成的集合也是一個集族。
集族
集族
集族是以集合為元素構成的集合。集族常用花體字母表示，這裡我們使用 來表示集族。集合之間關係的定義和運算規律同樣適用於集族。如 為集族 的可列並， 。
下面我們介紹幾種常用的集族。
| 集族類別 | 等價定義 | 對運算的特性 |
| 半環 | 對交封閉，差為有限不相交並 | |
| 環 | 對“U”“\”封閉 對“U”“△”封閉 對“∩”“△”封閉 對“∩”，不相交並，包含差封閉 | 對一切有限 運算封閉 |
| 代數 | 含X的環 對“U”余“ ' ’”封閉 對“∩”余“ ' ’”封閉 | 含X且對一切有 限運算封閉 |
| σ-代數 | 對 及余“ ' ’”封閉 為代數且對不相交可列並封閉 為代數且對遞增集序列並封閉 | 含X且對一切可 列運算封閉 |
集族
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2) 若，則
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3) 若 且 則
集族
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其中每一個 均屬於 且 則稱 為半環。
集族
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顯然若 為半環，那麼 中任二元素A，B之差 必能表為 中有限個兩兩不相交的集之並。
例1記全體實數所成的集為R；且，那麼我
們把集
稱為R中的左閉右開區間，簡稱半開閉區間，R中全體半開區間構成一個半環。
例2 設R 為n維實數空間(即n維歐幾里得空間)，又設
為 中兩元素且 那麼 Rn滿足下列關係
的元素 所組成的集稱為R 中的半開閉區間。
R 中全體半開閉區間構成一個半環。
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例3設X為任意集，用 (X)表示X中全體子集組成的集族，則 (X)為半環，只含 集的集族{ }亦是一個半環。
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定義2設 為不空集族，且滿足下述條件：若，則，那麼我們稱 為環．換句話說：如果一個非空集族對於並及差兩種運算是封閉的，那麼它就是一個環。
例3中的集族也是環。
例5 設X是無窮集，則由X中一切有限子集組成的集族是環。
容易證明，凡環必是半環，反之半環不一定是環．上面例1，例2及例4中的集族均是半環，但它們都不是環。
集族
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定理1 設 為不空集族，則下列1) 2) 3)都是使 為環的充要條件：
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1) 若，則， ；
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2) 若，則， ；
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3) 若，則，
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若 且，則，
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若 且，則。
集族
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推論1若 為環，則 且 對有限個集之並，交及兩集之差，對稱差運算封閉。
定義3 含X的環稱為代數，由定理1的推論及
可知：代數對於有限個集之並及交，兩集之差及對稱差，余集等運算是封閉的。
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倒6設X是無窮集，X中全體有限子集及余集是有限集的集所組成的集族是一個代數。
集族
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顯然代數是環，反之環未必是代數，而且若 是環，那麼由X和 中的集組成的集族也未必是代數．事實上例5中的集族是環但非代數，而且該集族增添元素X后所得的集族也不是一個代數，因為它對余運算不封閉。
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2) 對並及余運算封閉，即若，則， ；
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3) 對交及余運算封閉，即若，則， 。
定義4假設 是Ω上的非空集族，如果：
(1) ；
(2)它對於補運算封閉，即，有；
(3)它對於可列並運算封閉，即 有。
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則稱 是Ω上的(西格瑪)-代數(algebra)或者域(field)。
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例7由 Ω和 兩個集合組成的集族是 -代數。因為它們的補和可列並運算結果仍然是Ω和。
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(2)假設A是Ω的非空子集，是任一包含A的-代數，那麼 稱為包含A的最小 -代數，有時也稱為由A生成的-代數。
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(3)設Ω是全體實數R，令是R中一切開區間( )生成的 -代數(一切閉區間也可以)，稱為R中的波雷耳(Borel) -代數，記為 (R)，中的元素(集合)稱為R中的波雷耳集。
基本信息
- 外文名
- family of sets