剩餘類環
剩餘類環
剩餘類環(residue class ring)是有理整數環的剩餘類環Z/mZ的推廣。設F，S為普通算術域，且F對S中每一賦值的剩餘類域均為有限域，設O為F的S整數環，A，B為O的理想，記N(A)=#(O/A)，稱為A的范數，它是積性的，O/A有許多類似於Z/mZ的性質：1.bx≡c(mod A)有解當且僅當(b，A)除盡c，且模A/(b，A)解惟一(式中b，c，x∈O)；2.以Φ(A)記環O/A中單位元個數，若(A，B)=1，則Φ(AB)=Φ(A)Φ(B)，且Φ(A)=N(A)∏(1-1/N(p))，式中p|A過素理想∑Φ(B)=N(A)，式中B|A過理想；3.若b∈O，(b，A)=1，則b≡1(mod A) 。
設A是環R的一個理想，若把A，R看作加群，這樣A是R的一個不變子群，且由A的陪集，作成R的一個分類，這些類叫做模A的剩餘類。而所有這些類組成的集作成一個環，叫做模A的 剩餘類環，記作。
比如，(n)是Z的一個理想，由(n)的陪集作成Z的一個分類，且集合作成一個剩餘類環,也就是。可見，一般的剩餘類環是模n的剩餘類環的推廣。
現在我們將給出剩餘類環這個重要概念的另一個實例。令F是一個實數域，並且考慮環中的理想，如果是的任意元素，那麼由除法變換我們有：，此處a和b都是實數，因此，對模n的每一個剩餘類所包含的是零或者至多是一次的多項式，而且在不同的剩餘類中，除非是，因為除了在這種情況下，是不可能的，這樣的不同元素的確就是剩餘類
由中加法和乘法的定義，我們看到
和
上面的第一式是明顯的，而第二式由觀察式：，所以，讀者必須注意這些公式與複數的加法和乘法的普通規則的相似性——事實上，環 就是複數域，除了使用的符號以外，實質上是相同的。
另外一個實例可能是有趣的，令是一個整數環，而m是多項式環中的理想，利用前面例子的論證，以代替，可以看出，對模m的任一個剩餘類包含一個形如的元素，現在此處a和b都是整數，然而在這種情況下，m包含整數2，因而每一個整數對模m的同餘不是0就是1，因此剛好有4個剩餘類，就是
而且因為，我們看到
所以 的每一個非零元素有一個逆元，因此 是一個域，這就是我們的第一個有限域的實例，它不是 的形式，此處p是一個素數，事實上，可以證明，雖然我們省略這個證明，那就是對於適當選擇的理想m，則任何有限域都可以象剩餘類環 一樣而得到。
(環同態基本定理)設A是環R的一個理想，則；反之，設環R與環同態，則同態映射的核A是R的一個理想，且。
比如，整數環Z與模n的剩餘類環Z同態，即反之，如是Z到的同態滿射，即，且的核，所以。
若，則
①R的一個子環S的象是的一個子環；
②R的一個理想A的象是 的一個理想；
③的一個子環的逆象S是R的一個子環；
④的一個理想的逆象A是R的一個理想。