模型論

構形式義某語言 ，量符號集合，系符號集合，函符號集合組。語言構，-構，組:

集底層集合，包含興趣("論域")，

  量符號  元素，

給 L 的每個 n 價函數符號一個從 An 到 A 的函數，和

給 L 的每個 n 價關係符號一個在 A 上的 n-元關係(換句話說，An的一個子集)。

函數或關係的價有時也叫做元數(術語"一元"、"二元" 和"n-元"中的那個元)。

在語言L中的理論，或L-理論，被定義為L中的句子的集合。如果句子的集合閉合於通常的推理規則之下，則被稱為閉合理論。例如，在某個特定L-結構下為真的所有句子的集合是一個閉合L-理論。

L-理論T的模型由在其中T的所有句子都為真的一個L-結構組出，它通常用T-模式的方式定義。

理論被稱為可滿足的，如果它有模型。

例如，偏序的語言有一個二元關係 ≥。因而偏序的語言的結構就是帶有 ≥ 所指示的二元關係的一個集合，它是偏序的理論的模型，如果此外它還滿足偏序的公理。

哥德爾完全性定理表明理論有一個模型當且僅當它是協調的，也就是說沒有矛盾可以被該理論所證明。這是模型論的中心，因為它使得我們能夠通過檢視模型回答關於理論的問題，反之亦然。不要把完全性定理和完備理論的概念混淆。一個完備的理論是包含每個句子或其否命題的理論。重要的是，一個完備的協調理論可以通過擴展一個協調的理論得到。

緊緻性定理說一組語句S是可滿足的（即有一個模型）當且僅當S的每一個有限子集可滿足。在證明理論的範圍內類似的定義是下顯而易見的，因為每個證明都只能有有限量的證明前提。在模型論的範疇內這個證明就更困難了。目前已知的有兩個證明方法，一個是庫爾特·哥德爾提出的（通過證明論），另一個是阿納托利·伊萬諾維奇·馬爾采夫提出的（這個更直接，並允許我們限制最後模型的基數）。

模型論一般與一階邏輯有關。許多模型論的重要結果(例如哥德爾完全性定理和緊緻性定理)在二階邏輯或其它可選的理論中不成立。在一階邏輯中對於一個可數的語言，任何理論都有可數的模型。這在勒文海姆-斯科倫定理中有表達，它說對於任何可數的語言中的任何有一個無限模型都有一個可數的初等子模型。

莫雷(Morley)證明了著名的範疇定理。即對於可數語言的任何可數完備理論，如果它在某個不可數基數上是範疇的，則它在所有不可基數上都是範疇的。這個定理極大的刺激了模型論的發展，產生了後來的所謂穩定性理論(stable theory).

近來模型論更加著重於對於其它數學分支，尤其是代數和代數幾何，的應用。

數理邏輯的一個分支。它是研究形式語言及其解釋（模型）之間關係的理論。早在20世紀20年代，T.司寇倫（1887～1963）等人在數理邏輯研究中就已經得到有關模型論性質的重要結果。但作為系統的理論，模型論的奠基人應推A.塔爾斯基。後來，A.魯賓遜也對模型論作過較多的貢獻。在這方面有貢獻的學者還有R.L.沃特、Ａ .И.馬爾切夫、張辰中、H.J.凱斯勒、M.D.莫爾利和S.什拉赫等人。

模型論按其所涉及的邏輯系統劃分，大致可分為：一階模型論、高階模型論、無窮長語言模型論、模態模型論、具有廣義量詞邏輯的模型論以及多值模型論等。由於在數理邏輯中以一階邏輯（見一階理論及其元邏輯）發展最為成熟，所以，模型論中一階模型論的內容最豐富，而且應用最多。

與相鄰學科或理論的關係 模型論與數理邏輯的其他分支有著密切的聯繫。首先，各種邏輯演算是模型論的基礎。此外，例如在證明論中，有關判定問題的研究廣泛使用著模型論性質的方法；公理集合論（見集合論）和遞歸論也都與模型論相互滲透及應用。

模型論中的概念與方法，除了主要來源於數理邏輯之外，也有不少來源於代數學，它與抽象代數的關係很密切。另外，由魯賓遜創始的非標準分析，則是模型論與分析數學相結合的產物。模型論還與其他數學學科，如數論、拓撲學、概率論等也有聯繫，在不少場合，模型論的成果不但作為數學性的結論起作用，並且作為邏輯性的結論而起著推理工具的作用。

一階語言 一階模型論的語言是一階語言。所謂一階語言，就是用狹義謂詞演算範圍內的邏輯概念所表達的語言，具體地說，就是用個體變元、個體常元、函數符號、關係符號或稱謂詞符號（一般包括等號在內），以及與、或、非、蘊涵等命題連接詞，還有"存在一個體"和 "對一切個體" 兩種量詞所表達的語言。其特點是，量詞"存在"、"對一切"只允許對個體使用，不允許對集合或謂詞等使用。它不包括"存在（個體集合的）一個子集"這樣的量詞。在一個一階語言中，由任一組命題所成的集合 T稱為一個形式理論。如果有一個數學結構M，當用其中的概念解釋T的命題中諸符號后，能使T的每一命題都在M中成立，則稱M是T的一個模型。

定理 一階模型論的一個基礎性的定理稱為緊緻性定理，它的內容是說：如果一階語言中一個命題集即形式理論T的任何有限子集都有模型，則T自身有模型。該定理是建立在關於一階邏輯即狹義謂詞演算的完全性定理之上的。這兩個定理首先由K.哥德爾證明，又經馬爾切夫推廣並由L.漢金等人給出新證法。緊緻性定理是關於模型存在性的一個基本定理，應用很廣，模型論中很多結果是建立在它的基礎上的。

模型論中一個發現較早的重要定理是勒文海姆－司寇倫定理（見司寇倫定理）。它的內容曾被塔爾斯基加以發展，其含意為：設一階語言 L中所能表達的命題個數為λ（是一個超限數），如果L中的一個形式理論 T有無限模型，則 T有基數為任何α≥λ 的模型。該定理使得在討論問題時可以改變模型的基數而不影響所關心的理論 T。

完備理論 在模型論中，對於完備理論的研究，是一個比較系統而帶有典型性的部分。一個形式理論 T，如果它的任何兩個模型都具有完全相同的一階性質，則稱T為完備的。完備理論的不同模型間，其一階性質可以互相轉移，這一點對於某些數字定理的證明有時能起到獨特的推理工具作用。例如，特徵數為零的代數閉域理論T0 是完備的，而複數域 K是T0的模型，人們往往能藉助於 K的某些非一階性質(如拓撲性質、函數論性質等)證明某個一階命題ψ對於 K成立，這時，便立刻可以斷定，ψ對於任何特徵數為零的代數閉域F（如代數數域）也是成立的，雖然F不一定具有K的那些非一階性質。

構造模型的方法 在對於模型的構造及一階性質的研究中，塔爾斯基等人提出的初等子模型及初等鏈是很基本的概念及方法，與此有關的還有魯賓遜提出的模型完全性等概念，後者由於涉及到代數而導致了一些特殊的研究。

超積是模型論中的一個常用的由一類已知模型構作新模型的方法。關於超積,J.洛斯有一個基本定理，其大意是說：超積具有它的在一定意義下的"幾乎一切"因子所共有的那些一階性質。這個定理在模型論中常常起著與緊緻性定理類似的作用。在數學應用方面，它的能使一階命題"轉移"的特點，也常常能起到獨特的推理工具作用。此外，超積及其特例超冪，在集合論問題的研究中也是常用的工具。在模型論中常用的概念及方法還有司寇倫函數、不可辨元、以及飽和模型等。