不變因子

設 是n階一矩陣，k是小於等於n的某個正整數，如果 的所有k階子式的最大公因子(它是首一多項式)不等於零，則稱這個多項式為 的k階行列式因子，記為。如果 的所有k階子式都等於零，則規定 的k階行列式因子為零。

定義

設 是一矩陣的非零行列式因子，則

稱為的不變因子。

相抵的λ一矩陣有相同的行列式因子，從而有相同的不變因子。

證明我們只需證明行列式因子在任意一種初等變換下不變就可以了，對第一種初等變換，交換λ一矩陣的任兩行，顯然A(λ )的i階子式最多改變一個符號，因此行列式因子不改變。

對第二種初等變換，A(λ )的i階子式與變換后矩陣的i階子式最多差一個非零常數，因此行列式因子也不改變。

對第三種初等變換，記變換后的矩陣為B(λ )，則B( λ)與A(λ )的i階子式可能出現以下3種情形：子式完全相同；B(λ )子式中的某一行(列)等於A(λ )中相應子式的同一行(列)加上該子式中某一行(列)與某個多項式之積；B(λ )子式的某一行(列)等於A( λ)中相應子式的同一行(列)加上不在該子式中的某一行(列)與某個多項式之積，在前面兩種情形，行列式的值不改變，因此不影響行列式因子，現在來討論第三種情形，設 為B(λ )的t階子式，相應的A( λ)的i階子式記為，則由行列式性質得

其中 由A( λ)中的i行與i列組成，因此它與A( λ)的某個i階子式最多差一個符號，是乘以某一行(列)的那個多項式，於是A( λ)的行列式因子，故，這說明，可整除B(λ)的所有i階子式，因此 可整除B(λ )的i階行列式因子，但B( λ)也可用第三種初等變換變成A( λ)，於是，由於 及 都是首一多項式，因此必有。

設n階 λ一矩陣A( λ)的法式為

其中 是非零首一多項式且，則A(λ )的不變因子為 ．特別，法式和不變因子之間相互唯一確定。

證明 由定理1，A(λ )與 有相同的不變因子，的不變因子為，從而它們也是A(λ )的不變因子。

設A(λ )，B( λ)為n階 λ一矩陣，則A(λ )與B( λ)相抵當且僅當它們有相同的法式。

證明 若A( λ)與B( λ)有相同的法式，顯然它們相抵，若A( λ)與B( λ)相抵，由定理1知A( λ)與B( λ)有相同的不變因子，從而有相同的法式。

n階 λ一矩陣A(λ )的法式與初等變換的選取無關。

證明 設 是A( λ)通過不同的初等變換得到的兩個法式，則 與相抵，由推論2可得。

數域 上n階矩陣A與B相似的充分必要條件是它們的特徵矩陣 和 具有相同的行列式因子或不變因子。

證明 顯然不變因子與行列式因子之間相互唯一確定，再由定理2，推論1及推論2即得結論。

之後特徵矩陣的行列式因子及不變因子均簡稱為A的行列式因子與不變因子。

設 是兩個數域，A，B是 上的兩個矩陣，則A與B在 上相似的充分必要條件是它們在 上相似。

證明 若A與B在 上相似，由於，它們當然在 上也相似，反之，若A，B在 上相似，則 與 在 上有相同的不變因子，也就是說它們有相同的法式，但在求法式的過程中只涉及多項式的加、減、乘及數的加、減、乘、除運算，而數域在加、減、乘、除運算下封閉，數域上的多項式在加、減、乘及數乘下也封閉，因此由推論3，法式中的不變因子多項式 仍是 上的多項式，與初等變換相對應的初等矩陣也是 上的 一矩陣，這就是說存在 上的可逆 一矩陣，使

從而

即 與 在 上相抵，由定理2可得A與B在 上相似。