兩分法悖論

古希臘埃利亞派哲學家芝諾是一位很有趣的人物。他以提出“兩分法”，“阿基里斯追不上烏龜”的悖論問題而聞名於世。在這些悖論中，芝諾否認了物質運動的存在。這本來是荒謬的，但他提出的理由又是那樣的雄辯，彷彿無懈可擊，以至於在19世紀以前，沒有任何人能駁倒他。

正在行走的人從A地出發，要走到X地。首先，他必須通過標有1/2的B點，這剛好是A——X的中心點。然後，他又得經過標有3/4的C點，這是B——X的中心點。接著，從C點出發，在到X之前他仍要經過一個中心點，即標有7/8的D點。從D點出發，他仍然得經過D——X的中心點E……，由此類推下去，無論離X的距離有多麼接近，他都得先經過一個個地中心點。然而，我們知道，這些中心點是無止境的，哪怕是微乎其微的距離，也總還有一個地方是這段距離的中心點。正因為中心點是走不完的，所以那個行走的人雖然離終點越來越近，但他始終無法到達終點。

芝諾的論證，是個典型的悖論，你能予以分析嗎？

哲學上的無窮之爭

一種觀點認為，對一段有限的時空距離的無限分割可以最終完成，雖則沒有最後的中點，但在總體上，卻可以看成這個分割已經完成了。這種觀點在哲學上上叫作實無限的觀點。因為無限分割已經完成，所以物走過了所有的中點而到達了終點。而另一種觀點則認為，由於不存在最後一個中點，所以這種無限分割不能最後完成，它是一個永無止境的過程。這種觀點叫作潛無窮。因為沒有最後一個中點，所以物不能到達終點。簡單地說，如果時空的無限可分是實無限，物能到達終點。如果時空的無限可分是潛無限，物不能到達終點。

數學上的解釋

這一悖論在數學上看，錯誤的原因是誤用最小元原理，因為它把最小元原理（非空集合具有最小的元素）強加到實數集合上了，這一原理對於正整數集合是成立的，但對實數集合不成立，例如，並不存在最小的正數。本來就不存在最先到達的那一點(因為沒有最小的正數），這個看似違背常識，但“存在最先到達的那一點”這一常識是錯誤的。我們現實中，遇到的常常是正整數情形，這種情形的性質並不能隨意推廣到正實數情形。

物理上存在無窮小概念，

物理學研究的是客觀世界，客觀世界不存在“無窮小”的度量，無論是時間、空間、質量、電量、力、能量，都不存在“無窮小”而只有“最小”。也就是說，世界，本質上是離散的而不是連續的。當然，這個“最小”是什麼程度，可能還達不到，一些理論的推導也可能並不正確，但這個“最小”的概念是肯定的，而那些由無窮小引出來的連續性的假設，僅僅是一種近似而已。

在單純的數學上，是可以有“無窮小”、“連續性”這些概念的，這也是數學中最重要的基礎概念之一。數學是可以脫離客觀世界這些具體的研究對象而自娛自樂，但是，把建立在“無窮小”“連續性”上的數學原理，應用到物理問題上的時候，必須考慮：應用對象是否符合這一條件？符合程度怎樣？偏差是否可以忽略？

因此，如果不加甄別，就把那些依賴於“無窮小”概念的數學方法，應用到“客觀物理事件”上來，有時候就要遇到麻煩：比如----芝諾悖論，就是把“無窮小”或“連續性”假設，應用到了並不存在“無窮小”，並不連續的實際物理問題中時，所出現的偏差，這個悖論的實質就是錯誤地使用了數學工具。