兩分法悖論

兩分法悖論

在兩分法悖論中,芝諾要論證的是:一個正在行走的人永遠到達不了他的目的地,因此,運動是不可能的。

芝諾的論證


兩分法悖論
兩分法悖論
古希臘埃利亞派哲學家芝諾是一位很有趣的人物。他以提出“兩分法”,“阿基里斯追不上烏龜”的悖論問題而聞名於世。在這些悖論中,芝諾否認了物質運動的存在。這本來是荒謬的,但他提出的理由又是那樣的雄辯,彷彿無懈可擊,以至於在19世紀以前,沒有任何人能駁倒他。
正在行走的人從A地出發,要走到X地。首先,他必須通過標有1/2的B點,這剛好是A——X的中心點。然後,他又得經過標有3/4的C點,這是B——X的中心點。接著,從C點出發,在到X之前他仍要經過一個中心點,即標有7/8的D點。從D點出發,他仍然得經過D——X的中心點E……,由此類推下去,無論離X的距離有多麼接近,他都得先經過一個個地中心點。然而,我們知道,這些中心點是無止境的,哪怕是微乎其微的距離,也總還有一個地方是這段距離的中心點。正因為中心點是走不完的,所以那個行走的人雖然離終點越來越近,但他始終無法到達終點。
芝諾的論證,是個典型的悖論,你能予以分析嗎?

芝諾悖論的困境


哲學上的無窮之爭
一種觀點認為,對一段有限的時空距離的無限分割可以最終完成,雖則沒有最後的中點,但在總體上,卻可以看成這個分割已經完成了。這種觀點在哲學上上叫作實無限的觀點。因為無限分割已經完成,所以物走過了所有的中點而到達了終點。而另一種觀點則認為,由於不存在最後一個中點,所以這種無限分割不能最後完成,它是一個永無止境的過程。這種觀點叫作潛無窮。因為沒有最後一個中點,所以物不能到達終點。簡單地說,如果時空的無限可分是實無限,物能到達終點。如果時空的無限可分是潛無限,物不能到達終點。
數學上的解釋
這一悖論在數學上看,錯誤的原因是誤用最小元原理,因為它把最小元原理(非空集合具有最小的元素)強加到實數集合上了,這一原理對於正整數集合是成立的,但對實數集合不成立,例如,並不存在最小的正數。本來就不存在最先到達的那一點(因為沒有最小的正數),這個看似違背常識,但“存在最先到達的那一點”這一常識是錯誤的。我們現實中,遇到的常常是正整數情形,這種情形的性質並不能隨意推廣到正實數情形。

世界不是連續的


物理上存在無窮小概念,
物理學研究的是客觀世界,客觀世界不存在“無窮小”的度量,無論是時間、空間、質量、電量、力、能量,都不存在“無窮小”而只有“最小”。也就是說,世界,本質上是離散的而不是連續的。當然,這個“最小”是什麼程度,可能還達不到,一些理論的推導也可能並不正確,但這個“最小”的概念是肯定的,而那些由無窮小引出來的連續性的假設,僅僅是一種近似而已。
在單純的數學上,是可以有“無窮小”、“連續性”這些概念的,這也是數學中最重要的基礎概念之一。數學是可以脫離客觀世界這些具體的研究對象而自娛自樂,但是,把建立在“無窮小”“連續性”上的數學原理,應用到物理問題上的時候,必須考慮:應用對象是否符合這一條件?符合程度怎樣?偏差是否可以忽略?
因此,如果不加甄別,就把那些依賴於“無窮小”概念的數學方法,應用到“客觀物理事件”上來,有時候就要遇到麻煩:比如----芝諾悖論,就是把“無窮小”或“連續性”假設,應用到了並不存在“無窮小”,並不連續的實際物理問題中時,所出現的偏差,這個悖論的實質就是錯誤地使用了數學工具。