反例

數學中，反例常被用於證明之中。有許多數學猜想或命題的敘述是全稱命題，聲稱所有的一類事物都有某種性質，或者是只要滿足某個條件，就會得出某種結果。當證明這樣的數學猜想遇到困難時，數學家會趨向於尋找一個反例，以說明這個猜想是錯誤的。

此外，某些反例可以幫助人們更好地理解一些數學概念的性質。這是因為反例的存在表示著：由某些事物A滿足條件P，但沒有性質Q。這樣可以避免使用全稱推斷造成的錯誤結果。

在哲學中，大部分的結論和推斷都是較為廣泛而無法象數學中一樣嚴格證明的，因此構造反例主要是為了說明某個哲學理論或論斷無法適用於某種特殊情況。一個有名的例子是葛梯爾問題。長期以來西方哲學中對於知識的概念可以概括為所謂JTB理論，即得到辯護的真信念（justified true belief）。1960年代，蓋梯爾發表了一篇論文，其中提出對這種定義的質疑，並舉出了反例，使得對何謂知識的定義重新成為哲學界探討的話題。

“JTB理論”的內涵是：某個人A“知道”某個事實B，是指：

B是真的；

A相信B是真的；

A相信B為真是得到辯護的（或者說有理由的、合理的）。

這樣的情況下，我們說A掌握了關於B的知識。這樣獲得的知識是真實可靠的。JTB理論中的每一點都是必要的。比如說，某人買了彩票后弄丟了，然後他認為自己也沒有中彩票。雖然事實上他也沒中，但由於他的相信是無理由的（未經辯護），所以不能稱作是知識：他並不知道自己的確沒中彩票。然而，蓋梯爾對這樣的定義提出了質疑，認為即使滿足了這三點，也未必能夠稱為知識。他舉的反例如下：

史密斯被告知瓊斯有一輛福特車，他因此相信這件事，並同時也有理由相信：“或者瓊斯有一輛福特車，或者布朗在巴塞羅那”，雖然他根本不知道布朗在哪裡。事實上，瓊斯並沒有福特車，但是布朗的確在巴塞羅那，所以史密斯相信的事情是真的（真信念），並且是得到辯護了的，但並不是知識。

一開始，哲學家們認為很快就可以找到一個簡單的解決辦法。然而，更多的“蓋梯爾式”的反例被製造出來，使得附加了各種額外要求的JTB理論仍然無法準確地描述“知道”這個概念。這是因為蓋梯爾問題的解決涉及到認識論的根本問題，如何為可靠的辯護，何謂真理等等。