伽羅瓦擴張

伽羅瓦擴張：在數學中，如果一個域擴張 既是一個 正規擴張又是可分擴張，那 就是一個伽羅瓦擴張。注意正規擴張隱含了 是一個代數擴張。

對於一個伽羅瓦擴張，可以定義伽羅瓦群，為所有 的自同構構成的群。抽象代數，研究代數的具體結構，群、環、域、模，域的可分正規擴張——伽羅瓦擴張。（定義在什麼樣的物體上可以進行所謂的測量，嚴格的從數學的公理化出發進行定義）

以下諸例中 F 是一個域，C、R、Q 分別為複數、實數與有理數域。記號 F(a) 表示通過添加一個元素 a 到域 F 中得到的域擴張。

是一個元素的平凡群，即恆同自同構。

有兩個元素，恆同自同構與復共軛自同構。

平凡。事實上可以證明任何 Q-自同構一定保持實數的順序，從而必然是恆同。

是一個無限群。

有兩個元素，恆同自同構與將 √2 和 ?√2 互換的自同構。

考慮域 。群 只包含恆同自同構。因為 K 不是正規擴張，這是因為其它兩個三次根（都是複數）不在擴張中——換句話說 K 不是一個分裂域。

現在考慮，這裡 ω 是本原三次單位根。群 同構於6階二面體群 S3，事實上 L是 在 Q 上的分裂域。

以下的性質均可以在沒有伽羅瓦理論基本定理的情況下證明。

令，則 G的不變域，即，是 F。

假設 是一個伽羅瓦擴張，F 是一個域並且 KF 存在。那麼，即 和 的一個子群同構。（由正規擴張和可分擴張的性質， 是一個伽羅瓦擴張，因此可以討論）

一個擴張是伽羅瓦型的重要性是因為它滿足伽羅瓦理論基本定理（fundamental theorem of Galois theory：伽羅瓦群的子群對應於這個域擴張的中間擴張。

如果 是伽羅瓦擴張，則 能給出一個拓撲，稱為克魯爾拓撲（Krull topology），使其成為一個投射有限群（profinite group）。