函數零點

一般地，對於函數，我們把方程的實數根x叫作函數的零點（the zero of the function）。即函數的零點就是使函數值為0的自變數的值。函數的零點不是一個點，而是一個實數。

使得某系統的傳遞函數G(s)為0的s的值(注意s為複數)，該值在複平面上的點，就是零點。

若該系統的輸入為U(s)，當s取值為零點處的值，則。又因為系統輸出，而s的特殊取值使得，所以此時無論輸入信號為何種形式，最終輸出Y(s)都是0，這也是 零點的實際意義。

也可以這樣說，若某系統工作在零點上，那麼此時任何輸入經過該系統后，輸出都是0。

⑴素數計數函數：，上標為∞，下標為。

J(x)是一種階性函數，定義為，

其中，是多重對數，ρ是所有黎曼函數中所有實部中的非平凡零點。

⑵黎曼-馮·諾依曼公式(描寫黎曼ζ函數的零點)：

⑶黎曼猜想：黎曼函數中所有實部中的非平凡零點很有可能全是½(結果為實)。

⑷佩龍公式(描寫黎曼ζ函數和素數計算函數的關係：)

設，上標為∞，下標為

那麼，,下標為，上標為，下標為

其中，ρ是黎曼函數中所有實部中的非平凡零點

若函數在閉區間[a,b]上的圖像是連續曲線，並且在區間端點的函數值符號不同，即，則在區間[a,b]內，函數至少有一個零點，即相應的方程在區間[a,b]內至少有一個實數解。

一般結論：函數的零點就是方程的實數根，也就是函數的圖像與x軸（直線）交點的橫坐標，所以方程有實數根，推出函數的圖像與x軸有交點，推出函數有零點。

更一般的結論：函數的零點就是方程的實數根，也就是函數的圖像與函數的圖像交點的橫坐標，這個結論很有用。

變號零點就是函數圖像穿過那個點，也就是在那個點兩側取值是異號（那個點函數值為零）。

不變號零點就是函數圖像不穿過那個點，也就是在那個點兩側取值是同號（那個點函數值為零）。

注意：如果函數最值為0，則不能用此方法求零點所在區間。

二分法求方程的近似解

（1）確定區間[a,b]，驗證，給定精確度；

（2）求區間(a,b)的中點x；

（3）計算f(x)；

①若，則x就是函數的零點；

②若，則令（此時零點);即圖象為

③若，則令。（此時零點）

（4）判斷是否滿足條件，否則重複(2)~(4)