三角形中線

設△ABC的角A、角B、角C的對邊分別為a、b、c．

1、三角形的三條中線都在三角形內。

2、三角形的三條中線長：

ma=(1/2)√2b²+2c²-a² ；

mb=(1/2)√2c²+2a²-b² ；

mc=(1/2)√2a²+2b²-c²。

(ma,mb,mc分別為角A,B,C所對邊的中線長）

3、三角形的三條中線交於一點，該點叫做三角形的重心。

4、直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。

5.三角形中線組成的三角形面積等於這個三角形面積的3/4。

6.三角形重心將中線分為長度比為1:2的兩條線段。

三角形中線組成的三角形面積等於這個三角形面積的3/4.

給出一個△ABC.中線為CD,BF,AE.（如右圖)

解：連接DE並延長到G,使EG=DE.連接BG,FG,EF.

在△DEC和△GEB中

∵DE=EG,∠BEG=∠DEC,BE=EC.

∴△DEC≌△GEB（SAS）.

∴CD=BG. S△DEC=S△GEB.

又∵DE平行且等於1/2AC,DE=EG.

∴EG平行且等於1/2AC.

即EG平行且等於AF.

∴四邊形AEGF為平行四邊形（對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形）

∴AE=FG . S△EFG =S△AEF.

這樣△ABC的三條中線CD,BF,AE就構成了△BFG.

∵BF為中線，平分△ABC面積.

∴S△BAF=S△BFC.

又∵EF為△BFC中線，平分△BFC面積.

∴S△BEF=S△EFC=1/4 S△ABC.

又∵CD為△ABC中線，平分△ABC面積.

∴S△ADC=S△BDC.

又∵DE平分△BDC面積.

∴S△BDE=S△DEC=1/4 S△ABC.

∴S△BEG=S△DEC=1/4 S△ABC.

∵AE為△ABC中線，平分△ABC面積.

∴S△BAE=S△AEC.

又∵EF平分△AEC.

∴S△AEF=S△EFC.

∴S△AFE=S△EFG=1/4 S△ABC

∵S△BFG =S△BEF+S△BEG +S△EFG

=1/4 S△ABC+1/4 S△ABC+1/4 S△ABC

=3/4 S△ABC

三形中任意兩條中線的和大於第三條中線

證明：由已知可得CD，BF, AE為△ABC的中線，P為△ABC的重心，∴AP=2/3 AE，CP=2/3 CD，PF=1/2 BP=1/3 BF（重心的性質），延長PF到M，使PF=FM，於是四邊形APCM為平行四邊形，∴AM=CP，△APM中：有AP+AM>PM ∴AP+CP>2PF，AP+CP>BP，2/3 AE+2/3 CD>2/3 BF，即AE+CD>BF 同理，AE+BF>CD，BF+CD>AE，所以得證：三角形中任意兩條中線的和大於第三條中線

三角形的中線與三角形的中位線，這兩者也只有一字之差，它們的不同點是：“三角形的中線”指的是連接三角形的一個頂點和它對邊中點的線段；“三角形的中位線”指的是連接三角形兩邊中點的線段。

而這兩個概念又存在著共同點：

1、都是線段；

2、每一個三角形都有三條中線，也都有三條中位線。

“中心”與“重心”很容易弄混淆，“中心”只存在於正三角形，也就是等邊三角形當中。在等邊三角形中，其 內心，外心，重心，垂心都在一個點上，於是稱之為 中心。

內心：三角形的內心是三角形三條內角平分線的交點。

外心：三角形三條邊的中垂線的交點叫作三角形的外心，即外接圓圓心。

重心：三角形三條中線的交點叫作三角形的重心。

垂心：三角形三條垂線的交點叫作三角形的垂心。

如圖所示， BF,CD,AE分別為 正三角形ABC的三條高，中線，角平分線，其 交點P即為 正三角形ABC的 中心。