時間序列分析

時間序列是按時間順序的一組數字序列。

時間序列的特點：

● ● 現實的、真實的一組數據，而不是數理統計中做實驗得到的。既然是真實的，它就是反映某一現象的統計指標，因而，時間序列背後是某一現象的變化規律。

● ● 動態數據。

時間序列建模基本步驟是：

● ● 用觀測、調查、統計、抽樣等方法取得被觀測系統時間序列動態數據。

● ● 根據動態數據作相關圖，進行相關分析，求自相關函數。相關圖能顯示出變化的趨勢和周期，並能發現跳點和拐點。跳點是指與其他數據不一致的觀測值。如果跳點是正確的觀測值,在建模時應考慮進去，如果是反常現象，則應把跳點調整到期望值。拐點則是指時間序列從上升趨勢突然變為下降趨勢的點。如果存在拐點，則在建模時必須用不同的模型去分段擬合該時間序列，例如採用門限回歸模型。

● ● 辨識合適的隨機模型，進行曲線擬合，即用通用隨機模型去擬合時間序列的觀測數據。對於短的或簡單的時間序列，可用趨勢模型和季節模型加上誤差來進行擬合。對於平穩時間序列，可用通用ARMA模型（自回歸滑動平均模型）及其特殊情況的自回歸模型、滑動平均模型或組合-ARMA模型等來進行擬合。當觀測值多於50個時一般都採用ARMA模型。對於非平穩時間序列則要先將觀測到的時間序列進行差分運算，化為平穩時間序列，再用適當模型去擬合這個差分序列。

時間序列分析是定量預測方法之一。它包括一般統計分析(如自相關分析，譜分析等)，統計模型的建立與推斷，以及關於時間序列的最優預測、控制與濾波等內容。經典的統計分析都假定數據序列具有獨立性，而時間序列分析則側重研究數據序列的互相依賴關係。後者實際上是對離散指標的隨機過程的統計分析，所以又可看作是隨機過程統計的一個組成部分。例如，記錄了某地區第一個月，第二個月，…，第N個月的降雨量，利用時間序列分析方法，可以對未來各月的雨量進行預報。

基本思想：根據系統的有限長度的運行記錄（觀察數據），建立能夠比較精確地反映序列中所包含的動態依存關係的數學模型，並藉以對系統的未來進行預報。

基本原理：一是承認事物發展的延續性。應用過去數據，就能推測事物的發展趨勢。二是考慮到事物發展的隨機性。任何事物發展都可能受偶然因素影響，為此要利用統計分析中加權平均法對歷史數據進行處理。

特點：簡單易行，便於掌握，但準確性差，一般只適用於短期預測。

時間序列依據其特徵，有以下幾種表現形式，併產生與之相適應的分析方法：

● ● 長期趨勢變化：受某種基本因素的影響，數據依時間變化時表現為一種確定傾向，它按某種規則穩步地增長或下降。使用的分析方法有：移動平均法、指數平滑法、模型擬和法等。

● ● 季節性周期變化：受季節更替等因素影響，序列依一固定周期規則性的變化，又稱商業循環。採用的方法：季節指數。

● ● 循環變化：周期不固定的波動變化。

● ● 隨機性變化：由許多不確定因素引起的序列變化。

時間序列分析主要有確定性變化分析和隨機性變化分析。其中，確定性變化分析包括趨勢變化分析、周期變化分析、循環變化分析。隨機性變化分析：有AR、MA、ARMA模型等。

確定性時序分析的目的：克服其它因素的影響，單純測度出某一個確定性因素對序列的影響；推斷出各種確定性因素彼此之間的相互作用關係及它們對序列的綜合影響。

時間序列趨勢分析目的：有些時間序列具有非常顯著的趨勢，我們分析的目的就是要找到序列中的這種趨勢，並利用這種趨勢對序列的發展作出合理的預測。

常用方法：趨勢擬合法和平滑法。

趨勢擬合法就是把時間作為自變數，相應的序列觀察值作為因變數，建立序列值隨時間變化的回歸模型的方法。包括線性擬合和非線性擬合。

線性擬合的使用場合為長期趨勢呈現出線形特徵的場合。參數估計方法為最小二乘估計。

其模型為，，。

非線性擬合的使用場合為長期趨勢呈現出非線形特徵的場合。其參數估計的思想是把能轉換成線性模型的都轉換成線性模型，用線性最小二乘法進行參數估計。實在不能轉換成線性的，就用迭代法進行參數估計。

其模型有、、等。

平滑法是進行趨勢分析和預測時常用的一種方法。它是利用修勻技術，削弱短期隨機波動對序列的影響，使序列平滑化，從而顯示出長期趨勢變化的規律。

時間序列預測法

時間序列預測法可用於短期預測、中期預測和長期預測。根據對資料分析方法的不同，又可分為：簡單序時平均數法、加權序時平均數法。

簡單平均數法：也稱算術平均法。即把若干歷史時期的統計數值作為觀察值，求出算術平均數作為下期預測值。這種方法基於下列假設：“過去這樣，今後也將這樣”，把近期和遠期數據等同化和平均化，因此只能適用於事物變化不大的趨勢預測。如果事物呈現某種上升或下降的趨勢，就不宜採用此法。

加權平均數法：把各個時期的歷史數據按近期和遠期影響程度進行加權，求出平均值，作為下期預測值。

隨機時間序列模型（nimeseriesmodeling）是指僅用它的過去值及隨機擾動項所建立起來的模型，其一般形式為。取線性方程、一期滯后以及白雜訊隨機擾動項（）。

模型將是一個1階自回歸過程AR(1)：。這裡，特指一白雜訊。

一般的p階自回歸過程AR(p)是。

如果隨機擾動項是一個白雜訊()，則稱(1)式為一純AR(p)過程（pureAR(p)process），記為。

如果不是一個白雜訊，通常認為它是一個q階的移動平均（movingaverage）過程MA(q)：。

將純AR(p)與純MA(q)結合，得到一個一般的自回歸移動平均（aunoregressivemovingaverage）過程ARMA（p，q）：。

該式表明：

1.一個隨機時間序列可以通過一個自回歸移動平均過程生成，即該序列可以由其自身的過去或滯后值以及隨機擾動項來解釋。

2.如果該序列是平穩的，即它的行為並不會隨著時間的推移而變化，那麼我們就可以通過該序列過去的行為來預測未來。這也正是隨機時間序列分析模型的優勢所在。需要說明的是，上述ARMA(p，q)模型中均未包含常數項。如果包含常數項，常數項並不影響模型的原有性質，因為通過適當的變形，將包含常數項的模型轉換為不含常數項的模型。

時間序列分析常用在國民經濟宏觀控制、區域綜合發展規劃、企業經營管理、市場潛量預測、氣象預報、水文預報、地震前兆預報、農作物病蟲災害預報、環境污染控制、生態平衡、天文學和海洋學等方面。主要包括從以下幾個方面入手進行研究分析。

系統描述

根據對系統進行觀測得到的時間序列數據，用曲線擬合方法對系統進行客觀的描述。

系統分析

當觀測值取自兩個以上變數時，可用一個時間序列中的變化去說明另一個時間序列中的變化，從而深入了解給定時間序列產生的機理。

預測未來

一般用ARMA模型擬合時間序列，預測該時間序列未來值。

決策和控制

根據徠時間序列模型可調整輸入變數使系統發展過程保持在目標值上，即預測到過程要偏離目標時便可進行必要的控制。