猜想

數學猜想(或猜測)是不知其真假的數學敘述，它被建議為真，暫時未被證明或反證(如“霍奇猜想”、“周氏猜測”、“哥德巴赫猜想”、”黎曼猜想“等)。當猜想被證明后，它便會成為定理。猜想一日未成為定理，數學家都要小心在邏輯結構之中使用這些猜想。

猜想主要因為類比推理和偶然發現的巧合而出現。數學家通常會使用不完全歸納法，來測試自己的猜想。例如費馬曾經根據首四個費馬數是素數，便猜想所有費馬數都是素數（此猜想已被推翻）。某些猜想會稱為“假設”，尤其是當它是針對某些問題提出的答案。

並非所有的猜想都能解決。連續統假設已被顯示為不能決定（或獨立）於集合論公理體系。可以將此陳述或其反例作為一個新的體系而保持一致（例如我們可以視平行公理或真或假）。在這個情況，如果某個證明使用了這個陳述，研究者通常會找尋另一個不須假設的解（同樣道理，想象一件誘人的事情——歐幾理德幾何的陳述可以只用中立幾何的公理來證明，那就是沒有平行公理）。除非是專註研究這個公理，研究者通常不必擔心結果要不要選擇公理。

從命題的題設出發，經過逐步推理，來判斷命題的結論是否正確的過程，叫做證明。

要證明一個命題是真命題，就是證明凡符合題設的所有情況，都能得出結論。要證明一個命題是假命題，只需舉出一個反例說明命題不能成立。

數學猜想是以一定的數學事實為根據，包含著以數學事實作為基礎的可貴的想象成分；沒有數學事實作根據，隨心所欲地胡猜亂想得到的命題不能稱之為“數學猜想”。數學猜想通常是應用類比、歸納的方法提出的，或者是在靈感中、直覺中閃現出來的。例如，中國數學家和語言學家周海中根據已知的梅森素數及其排列，巧妙地運用聯繫觀察法和不完全歸納法，於1992年正式提出了梅森素數分佈的猜想(即周氏猜測)。這一猜想加深了人們對特殊素數性質的認識。

數學猜想一般都是經過對大量事實的觀察、驗證、類比、歸納、概括等而提出來的。這種從特殊到一般，從個性中發現共性的方法是數學研究的重要動力。數學猜想的提出與研究，生動地體現了辯證法在數學中的應用，極大地推動了數學方法論的研究。此外，數學猜想往往成為數學發展水平的一項重要標誌：費馬猜想產生了代數數論；龐加萊猜想有助於人們更好地研究三維空間；哥德巴赫猜想促進了篩法和圓法的發展，尤其是發現了殆素數、例外集合、小變數的三素數定理等；黎曼假設使素數定理得到證明以及橢圓曲線技術應用於加解密、數字簽名、密鑰交換、大數分解和素數判斷等；四色問題通過電子計算機得以解決，從而開闢了機器證明的新時代。從這個意義上講，數學猜想不僅是一顆顆“璀璨艷麗的寶石”，而且是一隻只“能生金蛋的母雞”。