整函數

整函數總可以在原點展開成泰勒級數，它在全平面收斂，整函數以∞點為唯一的孤立奇點，它在∞點的羅朗展式與它在原點的泰勒展式有一樣的形式。當∞點是整函數的可去奇點時，這個整函數只能是常數，這就是著名的劉維爾定理，通常表述為“有界整函數必為常數”。

劉維爾（Liouville）定理

若f(z)在全平面C上全純且有界，則f為常數。

證明

若|f(z)|≤M，當z∈C。固定a∈C，作D(a,R)，由柯西不等式得到|f`(a)|≤M/R。令R→∞，得到f`(a)=0。由於a為C中任意一點，故f`(z)=0對任意z∈C都成立，因此f(z)在C上為常數。

利用這一定理可以得到代數基本定理的簡單證明。當∞點是整函數的n階極點時，這個整函數是一個n次多項式，也就是它的泰勒展式（或羅朗展式）只有有限多項。當∞點是整函數的本性奇點時，這個整函數的泰勒展式一定有無限多項，這類整函數稱為超越整函數。由代數基本定理知道n次多項式一定有n個零點(也就是根)，它總可以分解為n個一次因式的積，對於超越整函數，它可能有無限多個零點，比如sinπz就以全體整數為其零點集，也有的超越整函數沒有零點，如ez就處處不為零，一般來說，沒有零點的超越整函數總可以表成eg(z)的形式，此處g（z）也是一個整函數，而有無限多個零點的超越整函數f（z）也有一個因子分解式；形如，其中g（z）是整函數，0是m階零點，zk是非零零點集，gk()是的多項式，這是魏爾斯托拉斯因子分解定理。超越整函數還有一個重要性質：若f（z）是超越整函數，則對任意複數A（包括A=∞），存在點列{zk }，使zk ∞（k∞）而有f（zk）A。

這一結果有一個更精確的發展：對超越整函數f(z)，最多除去一個值（稱為例外值）外，對所有其他的複數v值（v≠∞），f（z）－v都有無窮多個零點（畢卡定理）。