劉維爾定理

隨沿則程確軌空運，鄰域密隨改

劉維

周形極橢圓函；

劉維爾第2定理

橢圓函數在任一周期平行四邊形內的極點處殘數之和為0；

劉維爾第3定理

n階橢圓函數在一個周期平行四邊形內取任一值n次；

劉維爾第4定理

在一周期平行四邊形內零點之和與極點之和的差等於一個周期。

劉維爾(Joseph Liouville) 法國數學家。1809年3月24日生於法國加來海峽省聖奧梅爾，1882年9月8日卒於巴黎。

劉維爾的父親克勞德-約瑟夫·劉維爾(Claud－Joseph Liouville)是一位陸軍上尉，母親名叫泰雷茲·巴朗(Thérése Bal－land)。劉維爾是他們的次子，幼時先後就學於科梅西和土爾。1825年他來到巴黎綜合工科學校學習，A．M．安培(Ampère)擔任分析與力學課的老師，兩人曾共同探討電動力學問題。他於1827年11月轉入橋樑與公路學校，1831年獲學士學位。

畢業后不久，他辭去了在伊澤爾省的工程師職務，期望得到一份教職，以便專心從事學術工作。1831年11月，他被綜合工科學校教育委員會選為L．馬蒂厄(Mathieu)的分析與力學課助教，由此開始了自己近50年的科學研究生涯。

1833—1838年間，劉維爾曾在成立不久的中央高等工藝製造學校講授數學和力學，但內容均為初級的。為使自己的教學工作保持在大學水平上，他在1836年攻取了博士學位，論文題為“關於函數或其一部分的正弦與餘弦級數展開式”(Sur le dévelop－pement des fonctions ou parties de fonctions en séries dc sinuset de cosinus)，探討了傅里葉級數及其在各種力學、物理學問題中的應用，於同年在巴黎成書出版。

為適應法國數學研究的需要，劉維爾在1836年1月創辦《純粹與應用數學雜誌》(Journal de matématiques pures et appli－quées)，並親自主持了前39卷的編輯出版工作(第1輯，1—20卷，1836—1855年；第2輯，1—19卷，1856—1874年)。該雜誌刊登純粹、應用數學領域所有分支的論文，記錄了19世紀中期的40年裡數學活動的一部分重要內容，被後人稱為《劉維爾雜誌》(Liou－ville′s Journal)。

劉維爾不僅與當時一些重要的數學家保持著密切聯繫並定期發表他們的成果，而且熱心地對年輕學者進行指導，為他們發表著作提供機會。最值得一提的當屬他編輯發表E．伽羅瓦(Galois)的文章。1832年5月，伽羅瓦在決鬥中被殺，劉維爾整理了他的部分遺稿並刊登在1846年的《純粹與應用數學雜誌》上，他在代數方面的獨創性工作才得以為世人所知。

1838年，劉維爾接替馬蒂厄成為綜合工科學校的分析與力學課教席，一直工作到1851年他轉入法蘭西學院任數學教席為止。1839年6月和1840年，他又先後被推舉為巴黎科學院天文學部委員和標準計量局成員，定期參與這兩方面的活動。

劉維爾的學術活動在法國革命期間稍有中斷。1848年4月23日，他入選立憲會議，是默爾特行政區的代表之一，次年5月競選議員失敗，他的政治活動遂告結束。

1851年來到法蘭西學院后，劉維爾的教學工作相當自由，有更多的時間展開自己的研究工作，廣泛與他人探討。他在此職位上一直工作到1879年。不過從1874年他退出《純粹與應用數學雜誌》的編輯工作后，便不再發表著作，也很少參與法國學術界的活動了。

劉維爾一生勤於學術工作，生活淡泊寧靜，每年都要回到家鄉土爾的舊居休假。他在1830年與表親瑪麗-路易絲·巴朗(Marie－Louise Balland)結婚，生有三女一子。

如果整函數 在整個平面上有界，即對所有 滿足不等式，則 必為常數。

可簡單描述為：一個有界的整函數必是常函數。

註：(1) 定理內容在實數範圍內不成立；

(2) 定理的逆命題成立，即常數是有界常函數。

設 是平面上任一點，對以 為中心，任意正數 為半徑的圓周，利用柯西不等式，得：

而且，由於 可以任意大，所以，必有，即，由於點 是任意的，故 必為常函數。

一、逆否命題：非常數的整函數必無界。

二、若 為有界整函數，則：

(1) 的逆也為有界整函數

(2) ，

(3) 為常數

三、幾何意義

非常數整函數的值既不能全含於某一圓內，也不能全含於某一圓外。

對於保守系統, 由於哈密頓量為常數，那麼的確可以推出劉維爾定理,即相空間的體積在運動中保持不變。但是對於耗散系統，這一結論是不成立，即劉維爾定理會失效，根據有些參考書介紹:相空間體積不守恆意味著系統向著更有序或無序的狀態的轉化，即微觀狀態數的減少或增加.,

第一個問題就是在耗散系統中，為什麼微觀狀態數會減少？在相空間中是不是存在"源"或"匯"?相空間中系綜所包含的每一系統在初態都對應Γ空間中都對應一點, 在耗散系統動力學演化過程中最終"失蹤"了嗎?

在耗散系統中，為什麼微觀狀態數會減少或增加？在相空間中這究竟如何理解?

第二個問題是關於下述矛盾:

現在來看一孤立系統，由於孤立系統哈密頓量守恆，那麼必須遵守劉維爾定理，即系統的狀態在相空間中(Γ空間)應躺在等能量面上，密度ρ( )為常數，這是由平衡態系綜理論引出來的結論.

但是由於孤立系統在向平衡態演化過程中，根據熱力學第二定律，微觀狀態數(熵)在不斷增大，即劉維爾定理似乎不再成立.

我也看了馮端寫的<熵的世界>,在其中也寫了埃倫費斯特夫婦的闡述，認為細粒熵還是守恆的不隨時間變化,,與劉維爾定理不矛盾，但粗粒熵卻

卻在不斷增長。但是這如何去理解?”

劉維爾定理作為複變函數的基本定理之一，有著廣泛的應用，可以直接或間接的證明推導出很多其他的定理：如代數學基本定理，複平面C上的最大模原理等等，是一種有效的證明手段。

例：設整函數且存在實數，使得，則為常數。

證明：∵為整函數

∴ 也為整函數

取：，則也為整函數

又∵

由劉維爾定理可知 為常數

∴也為常數，得證。