矩陣行列式

一個n×n的方陣A的行列式記為det(A)或者|A|，一個2×2矩陣的行列式可表示如下：

把一個n階行列式中的元素a所在的第i行和第j列劃去后，留下來的n-1階行列式叫做元素a的餘子式，記作M。記A=(-1)M，叫做元素a的代數餘子式。例如：

一個n×n矩陣的行列式等於其任意行(或列)的元素與對應的代數餘子式乘積之和，即:

定理1設A為一n×n矩陣，則det(A)=det(A)。

證對n採用數學歸納法證明。顯然，因為1×1矩陣是對稱的，該結論對n=1是成立的。假設這個結論對所有k×k矩陣也是成立的，對(k+1)×(k+1)矩陣A，將det(A)按照A的第一行展開，我們有：

det(A)=adet(M)-adet(M)+-…±adet(M)，

由於M均為k×k矩陣，由歸納假設有

此式右端恰是det(A)按照A的第一列的餘子式展開。因此

定理2 設A為一n×n三角形矩陣。則A的行列式等於A的對角元素的乘積。

根據定理1，只需證明結論對下三角形矩陣成立。利用餘子式展開和對n的歸納法，容易證明這個結論。

定理3 令A為n×n矩陣。

(i) 若A有一行或一列包含的元素全為零，則det(A)=0。

(ii) 若A有兩行或兩列相等，則det(A)=0。

這些結論容易利用餘子式展開加以證明。