嚴格遞增

遞增(increasing)函數是指當函數的任何自變數增加的時候，函數值不減少。嚴格遞增(strongly increasing)是指當函數任何自變數增加的時候，函數值也增加。類似地，遞減函數(decreasing)是指當函數的任何自變數增加的時候函數值不增加，嚴格遞減(strongly decreasing)是指當函數任何自變數增加的時候函數值卻減少。

設 為偏序集， ，如果對任意的，都有，則稱 為 單調遞增的；如果對任意的，都有，則稱 為嚴格單調遞增的。

類似的，也可以定義單調遞減和嚴格單調遞減的函數。

例1 單調遞增函數的一些例子：

(1) 是嚴格單調遞增的；

(2)偏序集，其中為包含關係，為一般的小於或等於關係。

令 是單調遞增的，但不是嚴格單調遞增的。

對於一個實數列，如果從第2項起，每一項都不小於它的前一項，即有，這樣的實數列叫做 遞增數列，也叫做上升數列；或說這一數列單調增加．

如果每一項都大於它的前一項，即，則把這樣的實數列叫做 嚴格遞增數列；或說這一數列 嚴格遞增或 嚴格單調增加．

對於一個實數列，如果從第2項起，每一項都不大於它的前一項，即有，這樣的實數列叫做 遞減數列，也叫做下降數列，或說這一數列單調減少。

如果每一項都小於它的前一項，即，則把這樣的實數列叫做 嚴格遞減數列；或說這一數列 嚴格遞減或 嚴格單調減少．

一個嚴格遞增的連續函數，它不處處可微。

下面的例子是由Pringsheim作出的，令

易見，在 上連續，因為當時，

所以 在 和 內都是嚴恪遞增的，又當時， ，而當時， ，可見 在 內也是嚴格遞增的，但由於

不存在，因而 在處不可微。

注意:有人或許會猜測，嚴格單調函數的不可微的點都是一些間斷點，上述反例說明了這種猜測是不正確的。