戴德金定理

刻畫實數連續性的命題

戴德金基本定理,它說明了實數域的一個性質,這個性質常稱為實數域的完備性、連續性或密接性。它的敘述為對於實數域內的任一戴德金分割A|A'必有產生這分划的實數β存在。這數β或是下組A內的最大數,或是上組A'內的最小數。

內容介紹


戴德金定理(Dedekind theorem)是刻畫實數連續性的命題之一,也稱實數完備性定理。它斷言,若A|A'是實數系R(即有理數集的所有戴德金分割的集合,並以明顯的方式定義了大小順序及四則運算)的戴德金分割,則由它可確定惟一實數β,若β落在A內,則它為A中最大元,若β落在A'內,則它是A'中最小元。這個定理說明,R的分割與全體實數是一一對應的,反映在數軸上,它又說明,R的分割不再出現空隙,因此,這個定理可用來刻畫實數的連續性。

定理定義


對於實數域內的任一戴德金分割A|A'必有產生這分划的實數β存在。這數β或是下組A內的最大數,或是上組A'內的最小數。

證明過程


已知對於戴德金分割,把實數域拆分成兩個均非空集A及A',使能滿足:
情形1:每一實數必落在集A,A'中一個且僅一個之內;
情形2:集A的每一數α小於集A'的每一數α'。
下面在戴德金分割的基礎上給出戴德金定理的證明過程:
將屬於A的一切有理數集記成A,屬於A'的一切有理數集記成A',容易證明,集A及集A'形成有理數域內的一個分划。
這分划A|A'確定出某一實數β。它應該落在A組或A'組之一內。假定β落在下組A內,則這樣就實現了情形1,β就是A組的最大數。假定如果不是這樣,便可在這組內找出大於β的另一數α0。現在α0與β之間插入有理數r,使α0>r>β。r亦屬於A,故必屬於A的一部分。這樣就得出了謬論,即有理數r屬於確定β的戴德金分割的下組,卻又大於β。因此,就證明了戴德金定理的正確性。
類似地,如果假定β落在上組A'內,同樣可以證明。
其實也可以通過實數域的定義,由集合A可以確定一個上確界n,那麼容易證明n就是實數β。