戴德金定理

戴德金定理(Dedekind theorem)是刻畫實數連續性的命題之一，也稱實數完備性定理。它斷言，若A|A'是實數系R(即有理數集的所有戴德金分割的集合，並以明顯的方式定義了大小順序及四則運算)的戴德金分割，則由它可確定惟一實數β，若β落在A內，則它為A中最大元，若β落在A'內，則它是A'中最小元。這個定理說明，R的分割與全體實數是一一對應的，反映在數軸上，它又說明，R的分割不再出現空隙，因此，這個定理可用來刻畫實數的連續性。

對於實數域內的任一戴德金分割A|A'必有產生這分划的實數β存在。這數β或是下組A內的最大數，或是上組A'內的最小數。

已知對於戴德金分割，把實數域拆分成兩個均非空集A及A'，使能滿足：

情形1：每一實數必落在集A，A'中一個且僅一個之內；

情形2：集A的每一數α小於集A'的每一數α'。

下面在戴德金分割的基礎上給出戴德金定理的證明過程：

將屬於A的一切有理數集記成A，屬於A'的一切有理數集記成A'，容易證明，集A及集A'形成有理數域內的一個分划。

這分划A|A'確定出某一實數β。它應該落在A組或A'組之一內。假定β落在下組A內，則這樣就實現了情形1，β就是A組的最大數。假定如果不是這樣，便可在這組內找出大於β的另一數α0。現在α0與β之間插入有理數r，使α0>r>β。r亦屬於A，故必屬於A的一部分。這樣就得出了謬論，即有理數r屬於確定β的戴德金分割的下組，卻又大於β。因此，就證明了戴德金定理的正確性。

類似地，如果假定β落在上組A'內，同樣可以證明。

其實也可以通過實數域的定義，由集合A可以確定一個上確界n，那麼容易證明n就是實數β。