概率論中的收斂

設{,≥1}是概率空間(,F,)（見概率）上的隨機變數序列，從隨機變數作為可測函數看，常用的收斂概念有以下幾種：

若

,則稱{,≥1}以概率1收斂於。強大數律（見大數律）就是闡明事件發生的頻率和樣本觀測值的算術平均分別以概率 1收斂於該事件的概率和總體的均值。以概率 1收斂也常稱為幾乎必然（簡記為.）收斂，它相當於測度論中的幾乎處處（簡記為..）收斂。

若對任一正數ε,都有

，則稱{,≥1}依概率收斂於。它表明隨機變數與發生較大偏差(≥ε)的概率隨無限增大而趨於零。概率論中的伯努利大數律就是最早闡明隨機試驗中某事件發生的頻率依概率收斂於其概率()的。依概率收斂相當於測度論中的依測度收斂。

對,若-的階絕對矩(見矩)的極限

,則稱{}階平均收斂於。特別，當時，稱為平均收斂；當時，稱為均方收斂，它在寬平穩過程（見平穩過程）理論中是一個常用的概念。

設的均值都是有限的，若對任一有界隨機變數都有

,則稱{}弱收斂於。由平均收斂可以推出弱收斂。

從隨機變數的分佈函數（見概率分佈）看，常用的有如下收斂概念。

設、分別表示隨機變數、的分佈函數，若對的每一個連續點都有

，則稱的分佈弱收斂於的分佈，也稱依分佈收斂於。分佈弱收斂還有各種等價條件，例如，對任一有界連續函數()，

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分佈弱收斂是概率論和數理統計中經常用到的一種收斂性。中心極限定理就是討論隨機變數序列的標準化部分和依分佈收斂於正態隨機變數的定理。大樣本統計中也要討論各種統計量依分佈收斂的問題。

設{}為分佈函數列，而()為一非降右連續函數（不一定是分佈函數），若對()的每一個連續點都有

，則稱淡收斂於。

上述各種收斂之間有如下蘊含關係（崊表示由可推出）,若,則有:

。此外，依概率收斂於常數與依分佈收斂於常數是等價的。當

是獨立隨機變數序列{}的部分和時，依分佈收斂、依概率收斂和以概率1收斂三者是等價的。

隨著概率論的發展，上述收斂概念還推廣到取值於一般可測空間（見測度論）的隨機元（見隨機過程）序列的各種收斂性。例如隨機過程序列的分佈弱收斂（見隨機過程的極限定理），巴拿赫空間隨機元序列的收斂等。