柏拉圖體

柏拉圖體

柏拉圖體即為正多面體。如果一個多面體的所有面都是全等正多邊形,所有多面角也全等,我們就說它是正多面體(柏拉圖體)。

定義


有無限多種正多邊形,而正多面體只有五種。正多面體根據面的數目來命名,也就是:
4個正三角形的正4面體;
6個正方形的正6面體(立方體);
8個正三角形的正8面體;
12個正五邊形的正12面體;
20個正三角形的正20面體。

發展史


正多面體發源史已消失在過去的煙雲里。歐幾里德《原本》第八卷才開始用數學的眼光看它們。第一卷的第一個註釋指出,本卷“將處理所謂的柏拉圖體,那名稱實在是錯了。因為其中的三種,正4面體,立方體,正12面體來自畢達格拉斯學派,而正8面體和正20面體來自泰阿泰德(Theaeteus)。”事實也許真是這樣。
不管怎麼說,柏拉圖描繪了5種正多面體。他在《蒂邁歐篇》里講了如何拿正三角形,正方形和正五邊形來構造正多面體的面。柏拉圖的蒂邁歐(Timaeus),就是畢達格拉斯門下的洛克里的蒂邁歐。柏拉圖大概在訪問義大利時見過他。在柏拉圖的作品里,蒂邁歐神秘地將4種易構造的多面體:正4面體,正6面體,正8面體,正20面體,配給恩培多克勒Empedocles)的一切物質的四種基本“元素”:火氣水土。剩下的正12面體,就特意拿它來聯繫包圍我們的宇宙。

特性


1)內接於同一個球的正12面體的體積大於正20面體的體積,立方體的體積大於正八面體的體積。
2)內接於同一個球的正12面體和正20面體具有這共同的內接球,立方體和正八面體也有共同的內接球。
3)如果正12面體,正20面體和立方體內接於同一個球,那麼正12面體的體積與正20面體的體積之比,等於立方體邊長與正20面體的邊長之比。
4)如果正12面體與正20面體內接於同一個球,那麼二者體積之比等於表面積之比。
5)內接於同一個球的正12面體和正20面體具有相等的表面周長。

證明


頂點數V,面數F,棱數E
設正多面體的每個面是正n邊形,每個頂點有m條棱。棱數E應是面數F與n的積的一半(每兩面共用一條 棱),即
-------------- ①
同時,E應是頂點數V與m的積的一半,即
-------------- ②
由①、②,得
,
代入歐拉公式
整理后,得.
由於E是正整數,所以。因此
-------------- ③
說明m,n不能同時大於3,否則③不成立。另一方面,由於m和n的意義(正多面體一個頂點處的棱數與多 邊形的邊數)知,且。因此m和n至少有一個等於3
當時,因為,n又是正整數,所以n只能是3,4,5
同理,m也只能是3,4,5
所以有以下幾種情況:
nm類型
33正四面體
43正六面體
34正八面體
53正十二面體
35正二十面體
由於上述5種多面體確實可以用幾何方法作出,而不可能有其他種類的正多面體
所以正多面體只有5種

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柏拉圖體
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