柏拉圖體

有無限多種正多邊形，而正多面體只有五種。正多面體根據面的數目來命名，也就是：

4個正三角形的正4面體；

6個正方形的正6面體（立方體）；

8個正三角形的正8面體；

12個正五邊形的正12面體；

20個正三角形的正20面體。

正多面體發源史已消失在過去的煙雲里。歐幾里德《原本》第八卷才開始用數學的眼光看它們。第一卷的第一個註釋指出，本卷“將處理所謂的柏拉圖體，那名稱實在是錯了。因為其中的三種，正4面體，立方體，正12面體來自畢達格拉斯學派，而正8面體和正20面體來自泰阿泰德（Theaeteus）。”事實也許真是這樣。

不管怎麼說，柏拉圖描繪了5種正多面體。他在《蒂邁歐篇》里講了如何拿正三角形，正方形和正五邊形來構造正多面體的面。柏拉圖的蒂邁歐（Timaeus），就是畢達格拉斯門下的洛克里的蒂邁歐。柏拉圖大概在訪問義大利時見過他。在柏拉圖的作品里，蒂邁歐神秘地將4種易構造的多面體：正4面體，正6面體，正8面體，正20面體，配給恩培多克勒（Empedocles）的一切物質的四種基本“元素”：火氣水土。剩下的正12面體，就特意拿它來聯繫包圍我們的宇宙。

1）內接於同一個球的正12面體的體積大於正20面體的體積，立方體的體積大於正八面體的體積。

2）內接於同一個球的正12面體和正20面體具有這共同的內接球，立方體和正八面體也有共同的內接球。

3）如果正12面體，正20面體和立方體內接於同一個球，那麼正12面體的體積與正20面體的體積之比，等於立方體邊長與正20面體的邊長之比。

4）如果正12面體與正20面體內接於同一個球，那麼二者體積之比等於表面積之比。

5）內接於同一個球的正12面體和正20面體具有相等的表面周長。

頂點數V，面數F，棱數E

設正多面體的每個面是正n邊形，每個頂點有m條棱。棱數E應是面數F與n的積的一半（每兩面共用一條　棱），即

-------------- ①

同時，E應是頂點數V與m的積的一半，即

-------------- ②

由①、②，得

,

代入歐拉公式，

有

整理后，得.

由於E是正整數，所以。因此

-------------- ③

說明m,n不能同時大於3，否則③不成立。另一方面，由於m和n的意義（正多面體一個頂點處的棱數與多　邊形的邊數）知，且。因此m和n至少有一個等於3

當時，因為,n又是正整數，所以n只能是3，4，5

同理，m也只能是3，4，5

所以有以下幾種情況：

由於上述5種多面體確實可以用幾何方法作出，而不可能有其他種類的正多面體

所以正多面體只有5種

柏拉圖體展開圖：