歐拉公式

歐拉定理

在任何一個規則球面地圖上,用 R記區域個 數,V記頂點個數,E記邊界個數,則 R+ V- E= 2,這就是歐拉定理,它於 1640年由 Descartes首先給出證明,後來 Euler(歐拉 )於 1752年又獨立地給出證明,我們稱其為歐拉定理,在國外也有人稱其 為 Descartes定理。

R+ V- E= 2就是歐拉公式。

證明


用數學歸納法證明

( 1)當 R= 2時,由說明 1,這兩個區域可想象為 以赤道為邊界的兩個半球面,赤道上有兩個“頂點”將赤道分成兩條“邊界”,即 R= 2,V= 2,E= 2;於是 R+ V- E= 2,歐拉定理成立.。
( 2)設 R= m(m≥ 2)時歐拉定理成立,下面證明 R= m+ 1時歐拉定理也成立。
由說明 2,我們在 R= m+ 1的地圖上任選一個 區域 X ,則 X 必有與它如此相鄰的區域 Y ,使得在 去掉 X 和 Y 之間的唯一一條邊界后,地圖上只有 m 個區域了;在去掉 X 和 Y 之間的邊界后,若原該邊界兩端 的頂點現在都還是 3條或 3條以上邊界的頂點,則 該頂點保留,同時其他的邊界數不變;若原該邊界一 端或兩端的頂點現在成為 2條邊界的頂點,則去掉 該頂點 ,該頂點兩邊的兩條邊界便成為一條邊界。於 是 ,在去掉 X 和 Y之間的唯一一條邊界時只有三種 情況:
①減少一個區域和一條邊界;
②減少一個區 域、一個頂點和兩條邊界;
③減少一個區域、兩個頂 點和三條邊界;
即在去掉 X 和 Y 之間的邊界時 ,不 論何種情況都必定有“減少的區域數 + 減少的頂點數 = 減少的邊界數”我們將上述過程反過來 (即將 X 和 Y之間去掉的邊 界又照原樣畫上 ) ,就又成為 R= m+ 1的地圖了,在 這一過程中必然是“增加的區域數 + 增加的頂點數 = 增加的邊界數”。
因此,若 R= m (m≥2)時歐拉定理成立,則 R= m+ 1時歐拉定理也成立.。
由 ( 1)和 ( 2)可知 ,對於任何正整數 R≥2,歐拉 定理成立。 .

柯西的證明

第一個歐拉公式的嚴格證明,由20歲的柯西給出,大致如下:
多面體去掉一面,通過把去掉的面的邊互相拉遠,把所有剩下的面變成點和曲線的平面網路。不失一般性,可以假設變形的邊繼續保持為直線段。正常的面不再是正常的多邊形即使開始的時候它們是正常的。但是,點,邊和面的個數保持不變,和給定多面體的一樣(移去的面對應網路的外部。)
重複一系列可以簡化網路卻不改變其歐拉數(也是歐拉示性數)的額外變換。
● ● 若有一個多邊形面有3條邊以上,我們劃一個對角線。這增加一條邊和一個面。繼續增加邊直到所有面都是三角形。
● ● 除掉只有一條邊和外部相鄰的三角形。這把邊和面的個數各減一而保持頂點數不變。
● ● (逐個)除去所有和網路外部共享兩條邊的三角形。這會減少一個頂點、兩條邊和一個面。
重複使用第2步和第3步直到只剩一個三角形。對於一個三角形(把外部數在內),。所以。

推理證明

設想這個多面體是先有一個面,然後將其他各面一個接一個地添裝上去的。因為一共有F個面,因此要添(F-1)個面.
考察第Ⅰ個面,設它是n邊形,有n個頂點,n條邊,這時E=V,即棱數等於頂點數.
添上第Ⅱ個面后,因為一條棱與原來的棱重合,而且有兩個頂點和第Ⅰ個面的兩個頂點重合,所以增加的棱數比增加的頂點數多1,因此,這時E=V+1.
以後每增添一個面,總是增加的棱數比增加的頂點數多1,例如
增添兩個面后,有關係E=V+2;
增添三個面后,有關係E=V+3;
……
增添(F-2)個面后,有關係E=V+ (F-2).
最後增添一個面后,就成為多面體,這時棱數和頂點數都沒有增加。因此,關係式仍為E=V+ (F-2).即
F+V=E+2.
這個公式叫做歐拉公式。它表明2這個數是簡單多面體表面在連續變形下不變的數。

分式


當r=0或1時式子的值為0,當r=2時值為1,當r=3時值為a+b+c。

複變函數


把復指數函數與三角函數聯繫起來的一個公式,,e是自然對數的底,i是虛數單位。它將指數函數的定義域擴大到複數,建立了三角函數和指數函數的關係,它不僅出現在數學分析里,而且在複變函數論里也佔有非常重要的地位,更被譽為“數學中的天橋”。

推導過程


這三個公式分別為其省略余項的麥克勞林公式,其中麥克勞林公式為泰勒公式的一種特殊形式
在 的展開式中把x換成±ix.
所以
由此:
, ,然後採用兩式相加減的方法得到: , .這兩個也叫做歐拉公式。將 中的x取作π就得到:
這個恆等式也叫做歐拉公式,它是數學里最令人著迷的一個公式,它將數學里最重要的幾個數字聯繫到了一起:兩個超越數:自然對數的底e,圓周率π;兩個單位:虛數單位i和自然數的單位1;以及被稱為人類偉大發現之一的0。數學家們評價它是“上帝創造的公式”。

平面幾何


設△ABC的外心為O,內心為I,外接圓半徑為R,內切圓半徑為r,又記外心、內心的距離OI為d,則有
(1)式稱為歐拉公式。
為了證明(1)式,我們現將它改成
(2)式左邊是點I對於⊙O的冪:過圓內任一點P的弦被P分成兩個部分,這兩個部分的乘積是一個定值,稱為P關於⊙O的冪。事實上,如圖3.21,如果將OI延長交圓於E、F,那麼
因此,設AI交⊙O於M,則
因此,只需證明
或寫成比例式
為了證明(5)式,應當尋找兩個相似的三角形。一個以長IA、r為邊;另一個以長2R、MI為邊。前一個不難找,圖3.21中的△IDA就是,D是內切圓與AC的切點。后一個也必須是直角三角形,所以一邊是直徑ML,另一個頂點也應當在圓上。△MBL就滿足要求。
容易證明
因此(5)式成立,從而(1)式成立。
因為,所以由歐拉公式得出一個副產品,即

拓撲學


拓撲學又稱“連續幾何學”。
幾何學的一門分科。研究幾何圖形經過連續形變后仍能保持的性質。包括點集拓撲、代數拓撲、微分拓撲等分支。
在代數拓撲中,歐拉示性數(Euler characteristic)是一個拓撲不變數(事實上,是同倫不變數),對於一大類拓撲空間有定義。它通常記作。
二維拓撲多面體的歐拉示性數可以用以下公式計算:
其中V、E和F分別是點、邊和面的個數。特別的有,對於所有和一個球面同胚的多面體,我們有

統計學


特徵函數用歐拉公式:隨機變數X的特徵函數定義為

物理學


眾所周知,生活中處處存在著摩擦力,歐拉測算出了摩擦力與繩索纏繞在樁上圈數之間的關係。現將歐拉這個頗有價值的公式列在這裡:其中,f表示我們施加的力,F表示與其對抗的力,e為自然對數的底,k表示繩與樁之間的摩擦係數,a表示纏繞轉角,即繩索纏繞形成的弧長與弧半徑之比。