狄利克雷特徵

狄利克雷特徵

在解析數論及代數數論中，狄利克雷特徵是一種算術函數，是Z/nZ的特徵。它用來定義L函數。兩者都是由狄利克雷在1831年為了證明狄利克雷定理而引進。

目錄

1定義 2例子 3正文

4陳景潤對狄利克雷特徵的敘述

定義

狄利克雷特徵指有下面性質、由整數到複數的函數：

狄利克雷特徵

狄利克雷特徵

存在正整數k使得對於任意n都有χ(n) = χ(n+k)

對於任意m,n，χ(mn) = χ(m) χ(n)

χ(1)=1

首個條件說明特徵是一個以k為周期的函數，其餘兩個條件說明它是完全積性函數。

若果特徵的周期不是1，由周期性和完全積性可知，特徵的值若非單位根便是0。當且僅當gcd(n,k)>1，χ(n)=0。

例子

實特徵指值域為實數的特徵，它的值只限於 { − 1,0,1}。

若一個特徵對於所有與k互質的整數的值都為1，則稱為主特徵。

若p為素數，勒讓德符號(n|p)便是狄利克雷特徵的例子。

正文

數論中重要的基本概念之一，為P.G.L.狄利克雷所引進的模q的特徵，通常稱之為狄利克雷特徵。它可以用不同的方法來定義。這裡採用如下定義:

設,pj(1≤j≤s)是不同的奇素數,gj是模的最小正原根，以及

狄利克雷特徵

其中φ(d)是不超過d，且與d互素的正整數個數。對於任給的一組整數m,m0,m1,…,ms，把定義在整數集合上的函數

狄利克雷特徵

狄利克雷特徵

狄利克雷特徵

的特徵，其中r，r0，r1，…, rs是n 對模

狄利克雷特徵

的一個指數組，即,,1≤j≤s。為了著重指出特徵 ⅹ(n)是屬於模

狄利克雷特徵

的, 經常採用記號ⅹq(n)或ⅹ(n)mod

狄利克雷特徵

。有關特徵的基本知識如下：

① 設ⅹ(n)是模q的特徵，當(n,

狄利克雷特徵

)=1時恆有ⅹ(n)=1，則稱 ⅹ(n)為模

狄利克雷特徵

的主特徵、記為ⅹ0(n); 不然就稱為非主特徵。只取實值的特徵稱為實特徵，其他的稱為復特徵。函數也是模

狄利克雷特徵

的特徵，稱為ⅹ(n)的共軛特徵。

② 模q的特徵ⅹ（n）是以q 為周期的周期函數，即ⅹ(n+

狄利克雷特徵

)=ⅹ(n)。此外，ⅹ(1)=1,｜ⅹ(n)｜=1,(n,

狄利克雷特徵

)=1。

③ 特徵ⅹ(n)是完全積性函數，即對任意整數n1,n2有，因此ⅹ2(-1)=1。

④ 對於一個固定的模q, 有且僅有φ(q)個不同的模

狄利克雷特徵

的特徵。

⑤ 設塣(n)是模q的特徵，則有

⑥ 設q≥1,(α,

狄利克雷特徵

)=1，則有

對模

狄利克雷特徵

的所有不同的特徵求和。

⑦ 設ⅹ(n)是模q的非主特徵，如果存在正整數q┡

狄利克雷特徵的主要作用在於：利用性質⑥，可以從一個給定的整數序列中，把屬於某個公差為q的算術級數的子序列分離出來。

陳景潤對狄利克雷特徵的敘述

Dilikelei tezheng

狄利克雷特徵

Dirichlet character

數論中重要的基本概念之一，為P.G.L.狄利克雷所引進的模的特徵，通常稱之為狄利克雷特徵。它可以用不同的方法來定義。這裡採用如下定義:

設[121-20],(1)是不同的奇素數，是模[121-21]的最小正原根，以及

[121-22]其中()是不超過，且與互素的正整數個數。對於任給的一組整數,,,…,，把定義在整數集合上的函數

[121-23]稱為模[121-0]的特徵，其中，，，…, 是對模[121-0]的一個指數組，即[121-24],[121-25],1。為了著重指出特徵 ()是屬於模[121-0]的, 經常採用記號()或()mod[121-0]。有關特徵的基本知識如下：

① 設()是模的特徵，當(, [121-0])=1時恆有()=1，則稱 ()為模[121-0]的主特徵、記為(); 不然就稱為非主特徵。只取實值的特徵稱為實特徵，其他的稱為復特徵。函數[121-26]也是模[121-0]的特徵，稱為()的共軛特徵。

② 模的特徵（）是以為周期的周期函數，即(+[121-0])=()。此外，(1)=1,｜()｜=1,(,[121-0])=1。

③ 特徵()是完全積性函數，即對任意整數，有[121-27]，因此(-1)=1。

④ 對於一個固定的模, 有且僅有()個不同的模[121-0]的特徵。

⑤ 設()是模的特徵，則有

[121-28]

⑥ 設1,(,[121-0])=1，則有

[121-29]式中Σ表對模[121-0]的所有不同的特徵求和。

⑦ 設()是模的非主特徵，如果存在正整數<，使得對所有滿足條件(,)=(,)=1,≡(mod)的、有()=(),那麼就稱()為模的非原特徵；否則就稱為模的原特徵。

狄利克雷特徵的主要作用在於：利用性質⑥，可以從一個給定的整數序列中，把屬於某個公差為的算術級數的子序列分離出來。因此，它在涉及算術級數的許多數論問題諸如算術級數中的素數定理、哥德巴赫猜想的研究中，起著關鍵的作用。

陳景潤

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