反對稱

有限元分析中存在多種約束關係，包括對稱（symmetry）約束與反對稱（antisymmetry）約束。例如反對稱行列式就是主對角元都是0，其它關於主對角線對稱位置的元素符號相反。

離散Hopfield神經網路(以下簡稱為DHNN)為人工神經網路(ANN)的第二次興起與發展起到了極大的促進作用。DHNN模型是研究整個反饋離散ANN的基礎，因而，受到ANN領域內許多學者的極大關注。研究反饋網路的最基本最主要的問題之一是穩定性問題，即網路的收斂性問題。對稱與反對稱型網路是一種比較實用性的網路，易於實現，因而受到學者們的極大興趣。1986年Goles首先對反對稱DHNN進行了研究，得到：若N=(W，θ)是一階反對稱DHNN，θ=0，則對N的任一初始狀態X∈B，N在全并行方式下總會收斂於一個長度為4的環吸引子上去。

1990年，Bruck利用圖論中的最大流最小割定理，對Goles的結論進行了所謂“重新證明”。發現關於結論1的證明是錯誤的。

具有p個神經元的離散Hopfield神經網路N，其拓撲結構可以由一個p×p階矩陣W=(w)p×p和一個p-維列向量

θ=(θ，θ，…，θ)所確定，並記為N=(W，θ)。其中w表示神經元i與神經元j之間的連接強度(或權值)，θ表示神經元i的閾值(i,j=1，2，…，p)。若用x(t)表示神經元i在t時刻所處的狀態，並且只有兩種：興奮(用x(t)=1表示)和抑制(用x(t)=-1或0表示。

對於一個給定的反對稱DHNN N=(W，θ)，θ=0，要求它的網路狀態圖只含長主度為4的有向圈，並且不含匯點，即對任一N的初始狀態X∈B，要求X最終收斂於一個長度為4的環吸引子上。若網路N滿足條件則不可能對X∈B，X最終收斂於一個長度為4的環吸引子。對於一個給定的反對稱DHNN N=(W，θ)，在滿足定理或推論的條件下，G僅有長度為4的環吸引子。

小波變換因其具有的良好特性被廣泛地應用於圖像壓縮領域。同時，它也被認為是壓縮域圖像檢索技術研究

的首選。其中一個重要的原因在於，基於小波數據能夠得到圖像的邊緣，而邊緣信息是表徵圖像內容的重要特徵。

MaIIat進行了基於小波變換的多尺度邊緣提取的研究，採用反對稱的二次樣條小波對圖像進行變換，通過模極大值檢測提取多尺度邊緣並進行綜合，獲得了良好的結果。然而，MaIIat所採用的是不具備正交性的二進小波，每一尺度上的小波分解都具有同樣數量的變換係數，分解級數越多，圖像數據量就越大，這樣的變換數據結構不可能被圖像壓縮演演算法所採用。而從圖像壓縮和檢索相結合的角度來看，更希望能夠採用某種正交性小波的塔式分解數據進行邊緣信息的提取，這樣將使得我們能夠直接利用小波壓縮數據進行基於邊緣信息的圖像檢索。因此，研究正交和雙正交小波所具有的邊緣提取能力，對壓縮域圖像檢索的實現具有重要的意義。

相關研究對雙正交小波所具有的邊緣提取能力進行了理論分析，提出了一種基於反對稱雙正交小波的多尺度邊緣提取演演算法。分析和實驗結果均表明在反對稱雙正交小波變換域內能夠得到精確的多尺度邊緣信息，從而為利用反對稱雙正交小波實現壓縮數據域內基於邊緣信息的圖像檢索提供了依據。

反對稱雙正交小波與邊緣提取

由MaIIat的討論，用於邊緣提取的小波函數P(x)必須為反（奇）對稱，它所對應的尺度函數為偶對稱。根據小

波理論可知，滿足這些條件的緊支撐集正交小波僅有Haar小波，同時正交小波可以看作雙正交小波的特例，因此以下的分析將主要針對緊支撐的雙正交小波展開。

多尺度邊緣提取演演算法

圖像各個解析度級上的小波變換均提供了一定的邊緣信息。解析度級高時（小尺度），邊緣定位精度高，但對雜訊敏感；解析度級低時（大尺度），抗噪性好，但定位精度較差。因此，為了能夠得到精確的圖像邊緣，應綜合利用各個解析度級上的邊緣信息，即在低解析度級上確定邊緣，在高解析度級上細化邊緣，從而獲得較好的邊緣檢測性能。綜上所述，提出如下的多尺度邊緣提取演演算法：

（1）圖像的塔式小波分解：由於採用了具有雙正交特性的小波基函數，因此可對圖像進行級的小波分解，而後續檢測將在塔式分解數據上進行，其中為選定的分解級數。

（2）模圖和相圖的計算：基於圖像的塔式分解數據，通過半重構過程得到各個解析度級上的梯度矢量，並通過以下兩式計算各解析度級上的模值圖M（f x，y）和相角圖。

（3）模極大值檢測和閾值處理：對每一解析度的模圖沿相角方向求局部模極大值點，得到所有可能的邊緣像素集合。由於雜訊和精細紋理的存在，邊緣像素集合中有許多非邊緣點，而這些點的模值普遍較小。因此採用閾值法剔除模值小於一定閾值的點，以減小非邊緣像素點對後續步驟的影響。

（4）由粗到細的邊緣鏈接：利用多個解析度級的邊緣像素集合，綜合各個解析度上的邊緣信息，鏈接邊緣像素點以得到精確的單像素寬的邊緣。

對反對稱雙正交小波所具有的多尺度邊緣提取能力進行了理論分析，並提出了一種基於反對稱雙正交小波的多尺度邊緣提取演演算法。分析和實驗結果均表明在反對稱雙正交小波變換域內能夠得到精確的多尺度邊緣信息。由於雙正交小波所具有的良好特性（如線性相位、高階消失矩等）使其廣泛地應用於圖像壓縮領域，許多圖像都採用基於小波的壓縮演演算法進行壓縮編碼。因此研究結果為利用反對稱雙正交小波實現壓縮域內基於邊緣信息的圖像檢索提供了依據，這也是進一步深入研究的方向。