穩健統計

數理統計學的一個方面，研究當總體假定稍有變動及記錄數據有失誤時，統計方法的適應性問題。一個統計方法在實際應用中要有良好的表現，需要兩個條件：一是該方法所依據的條件與實際問題中的條件相符；二是樣本確是隨機的，不包含過失誤差，如記錄錯誤等。但實際應用中這些條件很難嚴格滿足，比方說，原來在提出該方法時是依據總體分佈為正態分佈的假定，但實際問題中總體的分佈與正態略有偏離；或在大量的觀測數據中存在受到過失誤差影響的“異常數據”等。如果在這種情況下，所用統計方法的性能僅受到少許影響，就稱它具有穩健性。

如下文提到的修削平均，使用還要早些。從1960年J.W.圖基發表他的工作以來，這方面的工作得到更多統計學家的重視。1964年P.J.休伯發表了他關於M估計的工作，進一步推動了它的發展。到1980年為止關於這方面的工作，已由休伯寫成專著。

對總體分佈的穩健性設當總體分佈為F時，統計方法T的某項性能指標為,例如，T可以是F的數學期望的估計，而 為T的方差；若在某項實際應用中，真實的總體分佈為,而該項性能指標取值 。以距離刻畫F與F的差異，比如， 可以是 對x取的最大值。如果當 充分小時,也充分小，則稱方法T具有對總體分佈的穩健性。可見，統計方法的穩健性與考慮的性能指標有關，也與分佈的距離 的定義有關。因此，怎樣定義適當的距離 ，研究各種距離的性質及相互關係，怎樣選擇適當的性能指標作為衡量穩健性的依據等，是穩健統計研究的一方面的內容。

通常使用的很多統計方法，是在總體分佈為正態的前提下導出的，理論上也證明了，在正態總體的情況下這些方法具有某種優良的性能。但在大多數具體問題中，正態假定往往只是近似地滿足，若一個統計方法缺乏穩健性，則它理論上可能有某種優良性能，而在實際應用中卻表現很差，甚至面目全非。因此，穩健性的研究是一個有很大實際意義的課題。

圖基在1960年提供了這樣的例子：設是抽自正態總體的樣本，要估計σ,常用的估計量

是標準正態分佈函數，則可以算出，當時，和的方差比的極限超過2。就是說，即使像0.05這麼小的污染程度也足以使 遠不如 的一半。因此 作為σ的估計穩健性較差，而相對地說dn的穩健性就較 好。

理論研究表明：像F檢驗(見假設檢驗、方差分析)之類的與總體方差有關的統計方法，其性能多與總體的正態性有較強的依賴關係，穩健性較差；而與總體均值有關的統計方法，如t檢驗之類，穩健性相對說來要好一些。

對異常數據的穩健性由於在大量次數的試驗或觀測中，很難完全避免出現個別疏忽，因此，要使統計方法有較好的穩健性，就必須要求，它所依據的統計量不受個別異常數據的太大影響。一個典型的例子是用樣本均值或樣本中位數（見統計量）去估計正態分佈的均值，前者受個別異常數據的影響較大，而後者則幾乎不受到影響，故從穩健性角度看，後者優於前者。介於兩者之間的有所謂修削平均，即給定自然數（n為樣本大小）,把全部樣本 中最大的k個和最小的k個捨棄，餘下的個的算術平均值稱為修削平均值，k愈大，修削愈多，如果有少量異常數據混入，則在修削時被捨棄了，因而不致造成危害。這是一個較早的穩健統計方法，但被廣泛使用。

為獲得對異常數據的穩健性，有兩個途徑：一是設計出有效的方法以發現數據中的異常值，從而把它們剔除。這已成為數理統計學中的一個重要課題，積累了不少成果。另一個途徑是設計這樣的方法，使樣本中的個別數據不致對最終結果有過大的影響，如用最小二乘法求參數估計時，是根據使偏差平方和為最小的原則，從而若有個別偏差特大的數據，其對結果的影響很大，故基於最小二乘法的統計方法的穩健性一般較差，若改用絕對偏差和最小的原則，則穩健性有所改善。

穩健性與效率使統計方法具有穩健性，在一定的意義上可以看成是一種“保險”:付出一定的保險費，以避免遭受重大損失，保險費就表現為方法在效率上的降低。例如，用樣本中位數估計正態分佈均值，在穩健性上比用樣本均值好；但如情況沒有異常，即總體分佈確為正態，並且無異常數據，則樣本中位數以方差大小衡量的效率，約只有樣本均值的三分之二。穩健統計的一個任務，就是設計有穩健性的統計方法，而使其在效率上的損失儘可能小。

與非參數統計的關係非參數統計方法往往有較好的穩健性，而一些穩健統計方法常要用到非參數性質的統計量，因此二者關係密切。但從性質上看二者是不同的：非參數統計中，對總體分佈的假定很少；而穩健統計則一般是從一個確定的參數性模型（如正態模型）出發，考慮當模型條件有少許擾動時的後果。因此，穩健統計本質上屬於參數統計的範疇。

參考書目

P.J.Huber,RobustStatistics,JohnWiley&Sons,NewYork,1981.