條件極值

數學概念之一

條件極值是在某附加條件下的極值。作為在數學中被廣泛應用的概念,無論是在數學中求解不等式,代數思想解決幾何問題,還是在經濟學中求效益最大化,工程項目的建設當中,對項目進度的管理 只要能在問題中抽象出此類模型模型。就能應用求條件極值的方法求解。

定義


義
函數f(x)與g1(x),…,gm(x) (1≤m
辭義
泛函J在某附加條件下的極值.例如,泛函函數y,z除滿足固定邊界條件y(x0)=y0, y(x1)=y1, z(x0)=z0, z(x1)=z1之外還滿足一個附加條件或這種問題的極值稱為條件極值.附加條件稱為約束.不含導數的約束,如G(x,y,z)=0,稱為有限約束或完整約束;含導數的約束,如G(x,y,z,y′,z′)=0,稱為微分約束或非完整約束. 

求解


Lagrange

求二元函數在約束條件=0下的可能極值點.可以先作拉格朗日函數
其中 λ為拉格朗日乘子對
分別對拉格朗日函數每個變數求偏導並令其值為0,解出得到的駐點就是函數(l)在條件(2)下可能的極值點.至於所求得的點是否為極值點,需要在實際問題中根據問題本身的性質來判定.這也是解決條件極值的通用方法.

代入法

對於約束條件比較簡單的條件極值,還可以使用代入法將其化為無條件極值.即從前述條件(2)中解出或x一x伽),然後將其代入函數(1),原問題即可化為一元函數的極值問題.

柯西不等式法

柯西不等式是由大數學家柯西《}audry研究數學分析中的“流數,’問題時得到的一個非常重要的不等式,某些函數的極值、最值可以轉化為柯西不等式的形式求解柯西不等式:對於任意的實數,,,和,,,總有
簡述為‘‘積和方不大於方和積”;a; ER, b; ER,當且僅當實數,,,和,,,對應成比例時,等號成立[l }l由此,得到兩個重要結論:
(1)若則
(2)若則(其中,i=1,2n)
運用柯西不等式,主要是把目標函數適當變形,進而“配.湊n可西不等式的左邊或右邊的形式,最終求得極大值或極小值。 

其他方法

均值不等式法、梯度法、圖像法、三角代換法,構造二次型等。最通用的還是拉格朗日乘數法,其他一些方法通常需要對應原函數的不同形式可以更方便的求解。

例題


例1

(成本最小問題)某公司的兩個工廠生產同樣的產品,但所需成本不同,第一個工廠生產x單位產品和第二個工廠生產Y單位產品時的總成本是若公司的生產任務是500個單位產品,問如何分配任務才能使總成本為最小?
解法1
該問題是求函數在條件下的極值.作拉格朗日函數分別對該拉格朗日函數的所有自變數x,y,λ求偏導,並令其值均為0,解得可能的極值點是(125,375).根據問題的實際性質,該點就是要求的最小值點.也就是說,當第一個工廠生產125單位產品、第二個工廠生產375單位產品時總成本最小。
解法2
解法2由解出,並代入目標函數中,可得總成本對總成本函數求導,並令其一階導數等於0,可得唯一駐點x=125,.由於。在該點的二階導數小於0,知該駐點是極大值點,所以也一定是最大值點.比較c(0),c(125),c (500),可得所求最小值點x = 500.即第一個工廠生產500單位產品時總成本最小。 

例2

已知求出的最值 解:首先將 變形為再設,於是,根據柯西不等式(1)及已知條件,有即當且僅當時,等號成立;即當k=1;x=4;y=-3;z=5時;k=-1,x=0,y=1,z=3時。
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