不可微函數

不可微函數(non-differentiable function)微分不存在的函數。若一元函數f在二。處沒有(有限)導數，則f稱為在x。不可微。詢如，函數.在二一。處連續，但不可微。在幾何上，這意味著在點處曲線y =.f }x)沒有切線或切線與y軸平行。對多元函數，當偏導數之一不存在或為無窮時函數不可微。在不可微點處函數的圖象沒有切平面或切平面與某一坐標軸垂直。數學史上的一件引人注目的事是，1860年前後，外爾斯特拉斯(Weier-strass,K. (T. W.)發現了在(一oo，+oo)上處處連續但無處可微的函數。他的例子於1874年由他的學生髮表:

其中。GbGl,a是正奇數且ab} (例如,).這個函數有時稱為外爾斯特拉斯函數。波爾查諾(Bolzano,B.)早已於1834年以幾何形式給出一個這類函數例子，但遲至1930年才由後人發表。繼外爾斯特拉斯之後，不斷有人舉出這樣的例子，其中，被公認為形式與思想都比較簡單的是，由范·德·瓦爾登(Van der Waerden, B. L.)於1930年給出的下述函數(范·德·瓦爾登函數):對，設，即二與離它最近的整數點的距離，其中表示不超過二的最大整數.up (x)的圖象是以1為周期的折線，在