多元函數
二元及以上函數的統稱
設D為一個非空的n 元有序數組的集合， f為某一確定的對應規則。若對於每一個有序數組（x1,x2,…,xn）∈D，通過對應規則f，都有唯一確定的實數y與之對應，則稱對應規則f為定義在D上的n元函數。記為y=f（x1,x2,…,xn） ，（x1,x2,…,xn）∈D 。變數x1,x2,…,xn稱為自變數；y稱為因變數。（xi,其中i是下標。下同）當n＝1時，為一元函數，記為y=f(x),x∈D;當n＝2時，為二元函數，記為z=f(x,y),(x,y)∈D.圖象如圖。二元及以上的函數統稱為多元函數。
設D是n維空間的一個點集，f為某一確定的對應法則。如果對於每個點，變數z按照對應法則f總有唯一確定的值和它對應，則稱z是變數的n元函數。記為，或。若函數f的定義域D是實數集R的一個子集，即只依賴於一個自變數，就說f是一元函數。若函數f的定義域D是n個R的笛卡爾（R. Descartes）積的子集，即依賴於n個獨立自變數，就說f是n元函數。
二元函數的定義域通常是由平面上的一條或幾條光滑曲線所圍成的平面區域，圍成區域的曲線稱為區域的邊界，包括邊界在內的區域稱為閉區域，否則稱為開區域。
人們常常說的函數，是因變數與一個自變數之間的關係，即因變數的值只依賴於一個自變數，稱為一元函數。
但在許多實際問題中往往需要研究因變數與幾個自變數之間的關係，即因變數的值依賴於幾個自變數。
例如，某種商品的市場需求量不僅僅與其市場價格有關，而且與消費者的收入以及這種商品的其它代用品的價格等因素有關，即決定該商品需求量的因素不止一個而是多個。要全面研究這類問題，就需要引入多元函數的概念。
多元函數三要素
1．研究一元函數的思想方法
研究一元函數的思想方法是研究多元函數、尤其是二元函數的基礎。研究二元函數的思想方法又是研究多元函數的基礎。
2．多元函數性質
象一元函數一樣，它也有定義域、值域、自變數、因變數、極限、導數等概念和性質。
3．三種定義的異同
這裡分別給出了多元函數的三種定義。即有序數組定義、n維空間定義和笛卡爾積定義。可以說前兩者是等價的。後者外延更廣泛。
多元函數的本質是一種關係。是兩個集合間一種確定的對應關係。這兩個集合的元素可以是數；也可以是點、線、面、體；還可以是向量、矩陣；等等。一個元素或多個元素對應的結果可以是惟一的元素，即單值的。也可以是多個元素，即多值的。
設點，若對每一點，由某規則f有唯一的與之對應：，則稱f為一個n元函數，G為定義域，U為值域。
①冪函數：（，μ為任意實數）定義域：μ為正整數時為（－∞，＋∞），μ為負整數時是；(為整數)，當α是奇數時為（ －∞，＋∞），當α是偶數時為（0，＋∞）；,p,q互素，作為的複合函數進行討論。略圖如圖2、圖3。
②指數函數：，定義成為（ －∞，＋∞），值域為（0 ，＋∞），時是嚴格單調增加的函數（即當時，） ，時是嚴格單減函數。對任何a，圖像均過點（0，1），注意和的圖形關於y軸對稱。如圖4。
③對數函數：，稱a為底，定義域為（0，＋∞），值域為（－∞，＋∞） 。 時是嚴格單調增加的，時是嚴格單減的。不論a為何值，對數函數的圖形均過點（1，0），對數函數與指數函數互為反函數。如圖5。
④三角函數：見表2。
正弦函數、餘弦函數如圖6，圖7所示。
⑤反三角函數：見表3。雙曲正、餘弦如圖8。
⑥雙曲函數：雙曲正弦，雙曲餘弦，雙曲正切 ，雙曲餘切。
[編輯]補充
在數學領域，函數是一種關係，這種關係使一個集合里的每一個元素對應到另一個（可能相同的）集合里的唯一元素（這只是一元函數的情況，請按英文原文把普遍定義給出，謝謝）。函數的概念對於數學和數量學的每一個分支來說都是最基礎的。
術語函數，映射，對應，變換通常都是同一個意思。
基本信息
- 中文名
- 多元函數
- 外文名
- function of several variables
- 應用學科
- 數學
- 背景
- 因變數的值依賴於幾個自變數
- 本質
- 是兩個集合間一種確定的對應關係
- 三要素
- 定義域、對應規則、值域
- 定義
- 二元及以上的函數統稱為多元函數