冪平均不等式

數學不等式證明中常用的不等式

冪平均不等式是在數學不等式的證明中常用的不等式，多次出現在省份高中數學聯賽、全國高中數學聯賽、CMO、IMO的代數問題中。

目錄
1定義 2不等式的關係 3性質

定義

冪平均不等式
冪平均不等式
冪平均不等式：設，且，則有成立，當且僅當時取等號。
加權的形式：設，且，則有成立，當且僅當時取等號。
其證明只需用到數學分析里的琴生不等式(即上下圖形)，取輔助函數。

不等式的關係

均值不等式
令中的p分別等於-1,0,1,2，根據冪平均不等式，即可得;即：此即為均值不等式。
冪平均不等式
冪平均不等式

性質

冪的指數越大，則均值不等式的值越大;不等式的特殊情況就是常用的均值不等式。

基本信息

中文名
冪平均不等式
外文名
Power-Mean Inequality
分類
數學定理
適用競賽
高中數學聯賽、全國高中數學聯賽、CMO、IMO