雅各布森根

雅各布森根記做 J(R) 可用如下等價的方式定義：

• 所有極大左理想之交。

• 所有極大右理想之交。

• 所有單左R-模的零化子之交。

• 所有單右R-模的零化子之交。

• 所有左本原理想（primitive ideal）之交。

• 所有右本原理想之交。

•

• 

• 如果R可交換，R的所有極大理想之交。

• 最大理想I使得對所有。

注意，最後一個性質不意味著R中使可逆的任何元素x都是 J(R) 的一個元素。

另外，如果R不可交換，則 J(R) 不必等於R中所有雙邊極大理想之交。

雅各布森根也能對沒有恆同元素（或說單位）的環定義。參見 I. N. Herstein 所著《Noncommutative Rings》。

雅各布森根以內森·雅各布森（Nathan Jacobson）命名，他最先研究了雅各布森根。

• 任何域的雅各布森根是。整數的雅各布森根是。

• 環 的雅各布森根是 。

• 如果K是一個域，R是所有元素位於K中的上三角n×n矩陣環，則 J(R) 由主對角線為零的所有上三角矩陣組成。

• 如果K是域， 是形式冪級數環，則 J(R) 由常數項為零的所有冪級數組成。更一般地，任何局部環的雅各布森根由這個環的非單位環組成。

• 由一個有限箭圖（quiver）Γ 與一個域K開始，考慮箭圖代數KΓ （在箭圖一文有具體說明）。這個環的雅各布森根由 Γ 中所有長度 的道路生成。

• 一個的雅各布森根是 {0}。這得自蓋爾范德-奈馬克定理（Gelfand–Naimark theorem）以及關於 -代數的事實，一個希爾伯特空間上的拓撲不可約 -表示是代數不可約的，從而其核在純代數意義上是一個本原理想。

• 除非R是平凡環 {0}，雅各布森根總是R中不等於R的理想。

• 如果R可交換有限生成Z-模，則 J(R) 等於R的詣零根（nilradical）。

• 環的雅各布森根等於零。具有零雅各布森根的環稱為半本原環（semiprimitive ring）。

• 如果是一個滿環同態，則。

• 如果M是一個有限生成左 （中山引理）。

• J(R) 包含R的每個詣零理想（nil ideal）。如果R是左或右阿廷環，則 J(R) 是一個冪零理想（nilpotent ideal）。注意，但是一般雅各布森根不必由環中冪零元素組成。

• R是半單環當且僅當它是阿廷環且其雅各布森根為零。