雙設法

雙設法的問題，實質上是已知兩點求通過兩點的直線方程。

在凱拉吉之後, 十二世紀的義大利數學家斐波那契從阿拉伯人那裡習得算學, 著書《算經》。此書的第十三章討論了兩種“契丹演演算法”。斐波那契在書中提到兩種契丹演演算法，顯然第一種契丹演演算法——“雙設法”與凱拉吉的雙設法相同，而第二種“契丹演演算法”即“盈不足術”，其中術語“試錯”對應的是“所出率”，“假令”對應的是“不足”或“盈”。

根據斐波那契在《計算之書》中的記載，把雙設法與盈不足術都稱為契丹演演算法。第一種契丹演演算法——雙設法，與凱拉吉的雙設法相同，而第二種契丹演演算法——盈不足術與中國古代的數學方法——盈不足術是相同的。在《計算之書》中，“契丹”正是當時西方對中國的稱呼，由此很多學者認為雙設法來源於中國。那麼凱拉吉這種解線性方程組的方法——雙設法究竟能不能看作是盈不足術呢？是否來源於中國？《九章算術》中將盈不足術分“兩盈”、“兩不足”、“一盈一足”三種情形。凱拉吉的這個線性方程組兩次假設都“不足”。我們將盈不足術中兩不足情形與凱拉吉的雙設法進行比較。

雙設法與盈不足術確有相似之處，這兩種方法都是兩次假設，假設都是可盈可不足。然而從數學思想上來看，如斐波那契所說，雙設法是一種四項比例演演算法，即已知其中的三項，來求未知項。而盈不足術是一種程序化、模式化的演演算法。二者是不相同的。從問題的數量關係上看，《九章算術》中盈不足章的問題多是二元一次方程組。而凱拉吉解的方程組屬於三元一次方程組。

雙設法與盈不足術並不等同，不能說雙設法就是盈不足術。凱拉吉的這個線性方程組問題本身，應該受到丟番圖的《算術》的影響，但是目前《算術》所遺留下來的手稿，並沒有保存對這類問題的解法。那麼凱拉吉對方程組的解法出自何人，竟是受到丟番圖影響，還是受“盈不足術”的啟發或影響，不能斷言，還有待於對《發赫里》這部著作進行整體的、更進一步的研究。

《九章算術》的盈不足章的最前四個問題是正規的盈虧問題。而第五題是“兩盈”問題，第六題是“兩不足”問題則分子就得相減了，都是“以少減多”來進行的，第七題是“盈、適足”，第八題是“不足，適足問題。它們的解法也可以在盈不足術的基礎上分別提出適當的公式。

盈不足章的第9到第20題，是一般的算術應用題，有些問題還相當難，初學者不易解答。如果通過兩次假設(分別各假設一個答數)然後分別驗算其盈餘和不足的數量，這樣任何算術問題都可以改造成為一個盈虧問題來解。因此盈不足術是中國數學史上解應用問題的一種別開生面的創造，它在我國古代演演算法中佔有相當重要的地位。盈不足術還經過絲綢之路西傳中亞阿拉伯國家，受到特別重視，被稱為“契丹演演算法”，後來又傳入歐洲，中世紀時期“雙設法”曾長期統治了他們的數學王國。