數學本體論

它研究 的主要問題有：數學對象是什麼？它的存在性和客觀 性如何？這是哲學上的本體論在數學哲學中的具體 表現. 數學是研究量的科學，但是數學對量的研究並 不是停留在一個水平上的，而是由淺人深地，不斷揭 示和研究量的不同表現形式的。就數學史來看，人們 首先認識的是名數，它與事物的質相聯繫，然後才從 不同的具體名數概括或抽象出其共同的數量特徵，出現抽象的數概念。這時的數都是一些不變的量，數 學家稱之為常數或常量，隨著研究運動物體的數量 關係的需要，數學家又揭示出量的新的表現形式 —變數.19世紀中葉以來，現代數學進一步深人 研究量的運算及其性質，揭示出量的又一新的表現 形式—結構。當然，這並不說明量只有這4種表現 形式，而是說明數學對量的研究不是停留在一個水 平上，一個層次上，而是由低層次進人更高的層次，由表層進人更深的裡層，它將隨著數學的發展而不 斷呈現出新的形式。數學家不斷揭示出量的新的表 現形式：名數、常數、變數和結構，成為不同時期數學 研究的對象。從抽象性角度來看，量的這些表現形式 一個比一個更抽象，構成一個抽象的層次序列。數學 哲學就是要從數學不斷揭示出來的量的具體表現形 式中，概括或抽象出反映該時代數學研究對象的一 般特點，回答該時代數學是什麼的問題. 正是數學對象這種特殊性和抽象性，才引起古 希臘數學哲學家關於數學對象如何存在的爭論。在 古代，當數學對象由具體的名數發展到抽象的數概 念時，人們第一次遇到抽象與具體或一般與個別的 關係。亞里士多德(Aristotle)以前，許多哲學家把“一般”的數學對象當作像“個別”的存在物那樣真實 地存在著，引起理論上的一些困難，所以亞里士多德 才提出數學對象如何存在的問題，並且闡明數學對 象是抽象地存在於事物之中的。後來，“一般”與“個 別”的關係更發展為中世紀關於共相(即普遍、一般) 是否真實存在的唯名論與實在論之爭。當數學進人 研究結構的層次后，作為唯名論與實在論爭論的繼 續，表現為現代數學哲學中形式主義與柏拉圖主義 關於無窮總體(或實無窮)的存在性和客觀性問題.