切線法

切線法又稱為牛頓法，是一種一般情況下具有二階收斂速度的非線性方程的數值解法。具體方法如下:

設是方程的根，又為附近的一個值，將在附近做泰勒展開:

其中ξ在x和之間

令,則:

去掉的二次項得到:

即

令

並由此構成一個遞推式([]表示下標)

可以證明，當且滿足以下條件時，由以上遞推式產生的序列最後收斂到在上的唯一根

(1)

(2)

(3)上恆正或恆負

(4)初值應滿足

1.求解的實根

由零點定理知在內有實根

,由迭代公式有:

取得到:

所以

2.任意數開n次方

為了說明的方便，在此就常見的開3次方作較詳細的說明，對於其他的可以類比計算

設則

所以

採用遞推公式([]表示下標)即可求出的任意精度近似值。初值一般取與接近的整數.

舉例求,取,迭代結果如下:

從上面可以看出，只要迭代4次即可求出15位精度的近似值

清代小說《蕩寇志》中，出現了劉慧娘用切線法算命的情節。