非線性方程

在數學上，一個線性函數（映射）擁有以下兩個性質：

疊加性：；

齊次：。

在是有理數的情況下，一個可疊加函數必定是齊次函數（在討論線性與否時，齊次函數專指一次齊次函數）；若是連續函數，則只要是任意實數，就可以從疊加性推出齊次。然而在推廣至任意複數時，疊加性便再也無法導出齊次了。也就是說，在複數的世界里存在一種反線性映射，它滿足疊加性，但卻非齊次。疊加性和齊次這兩個條件常會被合併在一起，稱之為疊加原理：

對於一個表示為的方程，如果是一個線性映射，則稱為線性方程，反之則稱為非線性方程。另外，如果，則稱此方程齊次（齊次在函數和方程上的定義不同，齊次方程指方程內沒有和無關的項，即任何項皆和有關）。

這裡的定義是很一般性的，可為任何數字、向量、函數等，而可以指任意映射，例如有條件限制（給定初始值或邊界值）的微分或積分運算。如果內含有對的微分運算，此方程即是一個微分方程。

這些方程可分為兩類，一種是多項式方程，一種是非多項式方程。

主條目：代數方程

主條目：多項式

代數方程又稱為多項式方程。令某多項式等於零可得一個多項式方程，例如：

利用勘根法可以找出某個代數方程的解；但若是代數方程組則較為複雜，有時候甚至很難確定一個代數方程組是否具有複數解（見希爾伯特零點定理）。即使如此，對於一些具有有限個複數解的多項式方程組而言，我們已經找到解的方法，並且也已充分了解這種系統的行為。代數方程組的研究是代數幾何里重要的一環，而代數幾何正是現代數學里的其中一個分枝。

若描述一個系統的微分方程是非線性的，則稱此系統為非線性系統。含有非線性微分方程的問題，系統彼此間的表現差異極大，而每個問題的解法或是分析方法也都不一樣。非線性微分方程的例子如流體力學的納維-斯托克斯方程，以及生物學的洛特卡－沃爾泰拉方程。

解非線性問題最大的難處在於找出未知的解：一般來說，我們無法用已知的解來拼湊出其他滿足微分方程的未知解；而在線性的系統里，卻可以利用一組線性獨立的解，透過疊加原理組合出此系統的通解。例如滿足狄利克雷邊界條件的一維熱傳導問題，其解（時間的函數）可以寫成許多不同頻率之正弦函數的線性組合，而這也讓它的解很彈性、具有很大的變化空間。通常我們可以找到非線性微分方程的特解，但由於此時疊加原理並不適用，故無法利用這些特解來建構出其他新的解。

一階常微分方程常常可以利用分離變數法來解，特別是自守方程

例如

這個方程式的通解為，特解為（即通解在趨近於無限大時的極限）。此方程是非線性的，因為它可以被改寫為

而等號左邊並不是u的線性映射。若把此式的換成，則會變成線性方程（指數衰減）。

二階和高階非線性常微分方程組的解幾乎無法表示成解析解，反而較常表為隱函數或非初等函數積分的形式。

分析常微分方程常用的方法包括：

• 檢查是否有任何守恆量（特別是在處理哈密頓系統的時候）。

徠• 檢查有沒有類似守恆量的耗散量（見李亞普諾夫函數）。

• 利用泰勒展開式作線性近似。

• 利用變數變換法，改寫成較易分析的方程。

• 分岔理論。

• 微擾法（也可應用在代數方程上）[1]。

參見：非線性偏微分方程列表

研究非線性偏微分方程最常見也最基礎的方法就是變數變換，變換以後的方程會較簡單，甚至有可能會變成線性方程。有時候，變數變換后的方程可能會變成一個或兩個以上的常微分方程（如同用分離變數法解偏微分方程），不管這些常微分方程可不可解，都能幫助我們了解這個系統的行為。

另一個流體力學和熱力學里常用的方法（但數學性較低），是利用尺度分析來簡化一個較一般性的方程，使它僅適用在某個特定的邊界條件上。例如，在描述一個圓管內一維層流的暫態時，我們可以把非線性的納維-斯托克斯方程簡化成一個線性偏微分方程；這時候尺度分析提供了兩個特定的邊界條件：一維和層流。

其他分析非線性偏微分方程的方法還有特徵線法，以及上述分析常微分方程時常用的方法。

主條目：單擺

單擺（表示速度向量；表示加速度向量）

非線性問題的一個典型的例子，就是重力作用之下單擺的運動。單擺的運動可由以下的方程來描述（用拉格朗日力學可以證明）：

這是一個非線性且無因次的方程，是單擺和它靜止位置所夾的角度，如動畫所示。此方程的一個解法是將視為積分因子，積分以後得

上述的解是隱解的形式，同時也包含了橢圓積分。這個解通常沒有什麼用，因為非初等函數積分（即使仍然是非初等函數）把解的各種特性隱藏了起來，使我們不易看出單擺系統的行為。

另一個解法是把這個非線性方程作線性近似：利用泰勒展開式將非線性的函數線性化，並在某些特定的點附近討論解的情形。例如，若在的點附近作線性近似（又稱小角度近似），時，，故原方程可以改寫為

近似后的方程變成了簡諧振蕩，因此當單擺運動到底部附近時，可以對應到一個簡諧振子。而若在（即當單擺運動到圓弧的最高點時）附近作線性近似，，故原方程可以改寫為

這個方程的解含有雙曲正弦函數，因此和小角度近似不同，這個近似是不穩定的，也就是說會無限制地增加（但此近似方程的解也可能是有界的）。當我們把解對應回單擺系統后，就可以了解為什麼單擺在圓弧的最高點時不能達到穩定平衡，也就是說，單擺在最高點時是不穩定的狀態。

另一個有趣的線性近似是在附近，此時，故原方程可以改寫為

這個近似后的方程可以對應到自由落體。

若把以上線性近似的結果合在一起看，就能大致了解單擺的運動情形。利用其他解非線性微分方程的方法，可以進一步幫助我們找到更精確的相圖，或是估算單擺的周期。

1086～1093年，中國宋朝的沈括在《夢溪筆談》中提出“隙積術”和“會圓術”，開始高階等差級數的研究。

十一世紀，阿拉伯的阿爾·卡爾希第一次解出了二次方程的根。

十一世紀，阿拉伯的卡牙姆完成了一部系統研究三次方程的書《代數學》。

十一世紀，埃及的阿爾·海賽姆解決了“海賽姆”問題，即要在圓的平面上兩點作兩條線相交於圓周上一點，並與在該點的法線成等角。

十一世紀中葉，中國宋朝的賈憲在《黃帝九章算術細草》中，創造了開任意高次冪的“增乘開方法”，並列出了二項式定理係數表，這是現代“組合數學”的早期發現。後人所稱的“楊輝三角”即指此法。

十三世紀，印度的拜斯迦羅著《立刺瓦提》一書，這是東方算術和計算方面的重要著作。

1202年，義大利的裴波那契發表《計算之書》，把印度—阿拉伯記數法介紹到西方。

1220年，義大利的裴波那契發表《幾何學實習》一書，介紹了許多阿拉伯資料中沒有的示例。

1247年，中國宋朝的秦九韶著《數書九章》共十八卷，推廣了“增乘開方法”。書中提出的聯立一次同餘式的解法，比西方早五百七十餘年。

1248年，中國宋朝的李治著《測圓海鏡》十二卷，這是第一部系統論述“天元術”的著作。

1261年，中國宋朝的楊輝著《詳解九章演演算法》，用“垛積術”求出幾類高階等差級數之和。

1274年，中國宋朝的楊輝發表《乘除通變本末》，敘述“九歸”捷法，介紹了籌算乘除的各種運演演算法。

1280年，元朝《授時歷》用招差法編製日月的方位表(中國王恂、郭守敬等)。

十四世紀中葉前，中國開始應用珠算盤。

1303年，中國元朝的朱世傑著《四元玉鑒》三卷，把“天元術”推廣為“四元術”。

1464年，德國的約·米勒在《論各種三角形》(1533年出版)中，系統地總結了三角學。

1494年，義大利的帕奇歐里發表《算術集成》，反映了當時所知道的關於算術、代數和三角學的知識。

1545年，義大利的卡爾達諾、費爾諾在《大法》中發表了求三次方程一般代數解的公式。

1550～1572年，義大利的邦別利出版《代數學》，其中引入了虛數，完全解決了三次方程的代數解問題。

1591年左右，德國的韋達在《美妙的代數》中首次使用字母表示數字係數的一般符號，推進了代數問題的一般討論。

1596～1613年，德國的奧脫、皮提斯庫斯完成了六個三角函數的每間隔10秒的十五位小數表。

1614年，英國的耐普爾制定了對數。

1615年，德國的開卜勒發表《酒桶的立體幾何學》，研究了圓錐曲線旋轉體的體積。

1635年，義大利的卡瓦列利發表《不可分連續量的幾何學》，書中避免無窮小量，用不可分量制定了一種簡單形式的微積分。

1637年，法國的笛卡爾出版《幾何學》，提出了解析幾何，把變數引進數學，成為“數學中的轉折點”。

1638年，法國的費爾瑪開始用微分法求極大、極小問題。

1638年，義大利的伽里略發表《關於兩種新科學的數學證明的論說》，研究距離、速度和加速度之間的關係，提出了無窮集合的概念，這本書被認為是伽里略重要的科學成就。

1639年，法國的迪沙格發表了《企圖研究圓錐和平面的相交所發生的事的草案》，這是近世射影幾何學的早期工作。

1641年，法國的帕斯卡發現關於圓錐內接六邊形的“帕斯卡定理”。

1649年，法國的帕斯卡製成帕斯卡計算器，它是近代計算機的先驅。

1654年，法國的帕斯卡、費爾瑪研究了概率論的基礎。

1655年，英國的瓦里斯出版《無窮算術》一書，第一次把代數學擴展到分析學。

1657年，荷蘭的惠更斯發表了關於概率論的早期論文《論機會遊戲的演算》。

1658年，法國的帕斯卡出版《擺線通論》，對“擺線”進行了充分的研究。

1665～1676年，牛頓(1665～1666年)先於萊布尼茨(1673～1676年)制定了微積分，萊布尼茨(1684～1686年)早於牛頓(1704～1736年)發表了微積分。

1669年，英國的牛頓、雷夫遜發明解非線性方程的牛頓—雷夫遜方法。

1670年，法國的費爾瑪提出“費爾瑪大定理”。

1673年，荷蘭的惠更斯發表了《擺動的時鐘》，其中研究了平面曲線的漸屈線和漸伸線。

1684年，德國的萊布尼茨發表了關於微分法的著作《關於極大極小以及切線的新方法》。

1686年，德國的萊布尼茨發表了關於積分法的著作。

1691年，瑞士的約·貝努利出版《微分學初步》，這促進了微積分在物理學和力學上的應用及研究。

1696年，法國的洛比達發明求不定式極限的“洛比達法則”。

1697年，瑞士的約·貝努利解決了一些變分問題，發現最速下降線和測地線。

1704年，英國的牛頓發表《三次曲線枚舉》《利用無窮級數求曲線的面積和長度》《流數法》。

1711年，英國的牛頓發表《使用級數、流數等等的分析》。

1713年，瑞士的雅·貝努利出版了概率論的第一本著作《猜度術》。

1715年，英國的布·泰勒發表《增量方法及其他》。

1731年，法國的克雷洛出版《關於雙重曲率的曲線的研究》，這是研究空間解析幾何和微分幾何的最初嘗試。

1733年，英國的德·勒哈佛爾發現正態概率曲線。

1734年，英國的貝克萊發表《分析學者》，副標題是《致不信神的數學家》，攻擊牛頓的《流數法》，引起所謂第二次數學危機。

1736年，英國的牛頓發表《流數法和無窮級數》。

1736年，瑞士的歐拉出版《力學、或解析地敘述運動的理論》，這是用分析方法發展牛頓的質點動力學的第一本著作。

1742年，英國的麥克勞林引進了函數的冪級數展開法。

1744年，瑞士的歐拉導出了變分法的歐拉方程，發現某些極小曲面。

1747年，法國的達朗貝爾等由弦振動的研究而開創偏微分方程論。

1748年，瑞士的歐拉出版了系統研究分析數學的《無窮分析概要》，這是歐拉的主要著作之一。

1755～1774年，瑞士的歐拉出版了《微分學》和《積分學》三卷。書中包括微分方程論和一些特殊的函數。

1760～1761年，法國的拉格朗日系統地研究了變分法及其在力學上的應用。

1767年，法國的拉格朗日發現分離代數方程實根的方法和求其近似值的方法。

1770～1771年，法國的拉格朗日把置換群用於代數方程式求解，這是群論的開始。

1772年，法國的拉格朗日給出三體問題最初的特解。

1788年，法國的拉格朗日出版了《解析力學》，把新發展的解析法應用於質點、剛體力學。

1794年，法國的勒讓德出版流傳很廣的初等幾何學課本《幾何學概要》。

1794年，德國的高斯從研究測量誤差，提出最小二乘法，於1809年發表。

1797年，法國的拉格朗日發表《解析函數論》，不用極限的概念而用代數方法建立微分學。

1799年，法國的蒙日創立畫法幾何學，在工程技術中應用頗多。

1799年，德國的高斯證明了代數學的一個基本定理：實係數代數方程必有根。

如何求解第一類多項式方程，已經有了比較成熟的理論和方法。比較常用的一種數值方法是迭代法，他能夠通過迭代次數的增加，而越來越接近方程的解。

至於如何求解第二類非多項式方程，是數學領域中的一個重點研究方向。一般來說，求解此類方程是採用隨機搜索的辦法。