多值邏輯

一種非經典的邏輯系統。在經典邏輯中，每一個命題皆取真假二值之一為值，每一命題或者真或者假。但是，一個命題可以不是二值的。例如，波蘭邏輯學家J.盧卡西維茨認為，命題不止有兩個值，不只是真或假。對於“明年12月31日正午我將在華沙”這類命題，在說出它的當時，它既不真也不假，而是可能。這也就是說，命題可以有三值，推而廣之，還可以有四值，五值。因此，對每一自然數n，有n值，以至於無窮多值。研究這類命題之間邏輯關係的理論，即為多值邏輯。

建立及應用 多值邏輯建立於20世紀20年代初，由盧卡西維茨和美國邏輯學家E.L.波斯特創建。盧卡西維茨在其1920年發表的《論三值邏輯》一文中，建立了一個三值邏輯系統。波斯特在其1921年發表的《初等命題的一般理論》一文中，建立了任意有窮多個值的邏輯系統。該系統對於任意的自然數 n>2，序列 t1,…,tn的每一項都可以取作命題的值，其中t1為真值,tn為假值。20～50年代，許多邏輯學家建立了 n值命題演算與謂詞演算的公理系統，並探討了它們的一致性和完全性問題，同時也研究了多值命題演算與埲值命題演算的子系統問題。多值邏輯在60年代獲得了新的推廣，從多值的線序域推廣到多值的偏序域，建立了格值邏輯。70年代后，多值邏輯被用於計算機科學和人工智慧等方面。

命題真值的解釋 在多值邏輯中，以數字為代表的命題真值如何解釋，邏輯學家中間有不同的解釋方法。其中有：①三值邏輯的解釋。以 0,1,2表示命題的三個真值，把

0解釋為已知真；

1解釋為可能真；

2解釋為已知假。

②　n值邏輯的解釋。以0,1,…,n-1表示命題的n個值，而把

0解釋為真；

n-1解釋為假；

i(0〈i〈n-1)解釋為不同程度的概率1-i/(n-1)。

③　埲（可數無窮多值）邏輯的解釋。把

0解釋為真；

1解釋為假；

m/n,【0<(m/n)<1】解釋為不同程度的概率1-(m/n)。

在盧卡西維茨的三值邏輯中，聯結詞塡 ,∧,∨,→,凮由以下的直值表定義，其中 t代表真，f代表假，u代表第三個值。

一般說來，若以0,1,…,n為 n+1值邏輯的值，並以0代表真，則各聯結詞的值可以由下列規定得到。設a、b為A、B的值，則：

① A的值為n-a；

② A∧B的值取a、b中較大者；

③ A∨B的值取a、b中較小者；

④ A→B的值取0，若a>b；取b-a，若a

⑤ A↔B的值取a、b之差。

對於無窮值邏輯，如以單位區間【0,1】中的有理數為值的埲值邏輯，或以單位區間【0,1】中的實數為值的埌值邏輯，聯結詞的值可以由下列規定得到。設a、b為A、B的值，則：

① 塡A的值為1-a；

② A∧B的值取a、b中的較大者；

③ A∨B的值取a、b中的較小者；

④ A→B的值為0，若b>a；取b-a，若a

⑤ A凮B的值取a、b之差。

格值邏輯是把線序多值邏輯推廣到任意格值上去，其中布爾值邏輯（見邏輯代數）就是一種有趣的多值邏輯。布爾值邏輯意味著布爾格中任一元素都可取為命題的值，如圖1、圖2所示。

圖1表示命題在一個 4元布爾格中取值，圖中的S為所有命題組成的集合，B1為一個4元布爾格，命題 A、B、C取值為1,D、E取值為b,G、H取值為a,I、J取值為0。命題的取值均為B1中元。

圖2表示命題在一個8元布爾格中取值。命題在B2中的取值方式類似於圖 1，命題間經聯結詞運算后所取值，為各子命題先取值再作格的運算后所得的值。在布爾邏輯中，命題聯結詞由格運算定義。但多值邏輯中聯結詞的定義，不是唯一的。如在三值邏輯中，當A、B的值皆為 u時，A→B的值為t，但也可定義為u。這兩種定義構成了不同的三值邏輯系統。這種狀況對其他多值邏輯系統也一樣。

在經典的命題邏輯（二值邏輯）中，重言式是常真的公式，反映邏輯規律，它們是邏輯系統所要斷定的。在多值邏輯中，雖然也有系統中所要斷定的公式，但其可斷定性問題比較複雜。例如在一個五值邏輯系統中，可斷定的公式除常真的公式以外，還可以有取其他值的公式。可斷定的值叫做特指值。在二值邏輯中，特指值只有一個，即真 (t)。在三值邏輯中，特指值也只有一個。但在用前面所列的真值表定義的三值邏輯中，由於二值邏輯中的某些重言式不再取特指值，因而不是三值邏輯中的可斷定公式（邏輯規律），特別是排中律A∨塡A和矛盾律塡(A∧塡A)都不是三值邏輯中邏輯規律，而且在A的值為u時，A∨塡A和塡(A∧塡A)的值都是u,而不是特指值t。而另一些重言式，如A→A，A→(B→A)，由於都只取特指值t，所以是三值邏輯中可斷定的公式。

公理系統 多值邏輯和經典邏輯一樣，也可以用公理方法系統化，建立演算系統。例如，三值邏輯的一個公理系統，其初始符號包括兩個聯結詞塡和→，它有4個公理和一個推理規則：

公理1　A→(B→A)；

公理2　(A→B)→((B→C)→(A→C))；

公理3　(塡A→塡B)→(B→A)；

公理4　((A→塡A)→A)→A。

推理規則為：從A→B和A可以推出B。在該公理系統中，聯結詞∨,∧和凮通過定義引入,A∨B定義為(A→B)→ B；A∧B定義為塡(塡A∨塡B);A凮B定義為(A→B)∧(B→A)。把多值邏輯系統化，就可以研究這種系統的邏輯特徵，如系統的一致性和完全性。這方面的一個結果，是證明了對於大於2的自然數n、m,當m>n且m是n的倍數時，n值邏輯是m值邏輯的真子系統。多值命題邏輯與適當的量詞理論結合在一起，就構成多值謂詞邏輯。對布爾值邏輯說來，已證明了，經典謂詞演算的公理和推理規則在每一布爾值邏輯中都成立。