多值邏輯

多值邏輯

多值邏輯,是一種非經典的邏輯系統。

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一種非經典的邏輯系統。在經典邏輯中,每一個命題皆取真假二值之一為值,每一命題或者真或者假。但是,一個命題可以不是二值的。例如,波蘭邏輯學家J.盧卡西維茨認為,命題不止有兩個值,不只是真或假。對於“明年12月31日正午我將在華沙”這類命題,在說出它的當時,它既不真也不假,而是可能。這也就是說,命題可以有三值,推而廣之,還可以有四值,五值。因此,對每一自然數n,有n值,以至於無窮多值。研究這類命題之間邏輯關係的理論,即為多值邏輯。
建立及應用 多值邏輯建立於20世紀20年代初,由盧卡西維茨和美國邏輯學家E.L.波斯特創建。盧卡西維茨在其1920年發表的《論三值邏輯》一文中,建立了一個三值邏輯系統。波斯特在其1921年發表的《初等命題的一般理論》一文中,建立了任意有窮多個值的邏輯系統。該系統對於任意的自然數 n>2,序列 t1,…,tn的每一項都可以取作命題的值,其中t1為真值,tn為假值。20~50年代,許多邏輯學家建立了 n值命題演算與謂詞演算的公理系統,並探討了它們的一致性和完全性問題,同時也研究了多值命題演算與埲值命題演算的子系統問題。多值邏輯在60年代獲得了新的推廣,從多值的線序域推廣到多值的偏序域,建立了格值邏輯。70年代后,多值邏輯被用於計算機科學和人工智慧等方面。
命題真值的解釋 在多值邏輯中,以數字為代表的命題真值如何解釋,邏輯學家中間有不同的解釋方法。其中有:①三值邏輯的解釋。以 0,1,2表示命題的三個真值,把
0解釋為已知真;
1解釋為可能真;
2解釋為已知假。
② n值邏輯的解釋。以0,1,…,n-1表示命題的n個值,而把
0解釋為真;
n-1解釋為假;
i(0〈i〈n-1)解釋為不同程度的概率1-i/(n-1)。
③ 埲(可數無窮多值)邏輯的解釋。把
0解釋為真;
1解釋為假;
m/n,【0<(m/n)<1】解釋為不同程度的概率1-(m/n)。
在盧卡西維茨的三值邏輯中,聯結詞塡 ,∧,∨,→,凮由以下的直值表定義,其中 t代表真,f代表假,u代表第三個值。
多值邏輯
多值邏輯
一般說來,若以0,1,…,n為 n+1值邏輯的值,並以0代表真,則各聯結詞的值可以由下列規定得到。設a、b為A、B的值,則:
① A的值為n-a;
② A∧B的值取a、b中較大者;
③ A∨B的值取a、b中較小者;
④ A→B的值取0,若a>b;取b-a,若a
⑤ A↔B的值取a、b之差。
對於無窮值邏輯,如以單位區間【0,1】中的有理數為值的埲值邏輯,或以單位區間【0,1】中的實數為值的埌值邏輯,聯結詞的值可以由下列規定得到。設a、b為A、B的值,則:
① 塡A的值為1-a;
② A∧B的值取a、b中的較大者;
③ A∨B的值取a、b中的較小者;
④ A→B的值為0,若b>a;取b-a,若a
⑤ A凮B的值取a、b之差。
格值邏輯是把線序多值邏輯推廣到任意格值上去,其中布爾值邏輯(見邏輯代數)就是一種有趣的多值邏輯。布爾值邏輯意味著布爾格中任一元素都可取為命題的值,如圖1、圖2所示。
多值邏輯
多值邏輯
多值邏輯
多值邏輯
圖1表示命題在一個 4元布爾格中取值,圖中的S為所有命題組成的集合,B1為一個4元布爾格,命題 A、B、C取值為1,D、E取值為b,G、H取值為a,I、J取值為0。命題的取值均為B1中元。
圖2表示命題在一個8元布爾格中取值。命題在B2中的取值方式類似於圖 1,命題間經聯結詞運算后所取值,為各子命題先取值再作格的運算后所得的值。在布爾邏輯中,命題聯結詞由格運算定義。但多值邏輯中聯結詞的定義,不是唯一的。如在三值邏輯中,當A、B的值皆為 u時,A→B的值為t,但也可定義為u。這兩種定義構成了不同的三值邏輯系統。這種狀況對其他多值邏輯系統也一樣。
在經典的命題邏輯(二值邏輯)中,重言式是常真的公式,反映邏輯規律,它們是邏輯系統所要斷定的。在多值邏輯中,雖然也有系統中所要斷定的公式,但其可斷定性問題比較複雜。例如在一個五值邏輯系統中,可斷定的公式除常真的公式以外,還可以有取其他值的公式。可斷定的值叫做特指值。在二值邏輯中,特指值只有一個,即真 (t)。在三值邏輯中,特指值也只有一個。但在用前面所列的真值表定義的三值邏輯中,由於二值邏輯中的某些重言式不再取特指值,因而不是三值邏輯中的可斷定公式(邏輯規律),特別是排中律A∨塡A和矛盾律塡(A∧塡A)都不是三值邏輯中邏輯規律,而且在A的值為u時,A∨塡A和塡(A∧塡A)的值都是u,而不是特指值t。而另一些重言式,如A→A,A→(B→A),由於都只取特指值t,所以是三值邏輯中可斷定的公式。
公理系統 多值邏輯和經典邏輯一樣,也可以用公理方法系統化,建立演算系統。例如,三值邏輯的一個公理系統,其初始符號包括兩個聯結詞塡和→,它有4個公理和一個推理規則:
公理1 A→(B→A);
公理2 (A→B)→((B→C)→(A→C));
公理3 (塡A→塡B)→(B→A);
公理4 ((A→塡A)→A)→A。
推理規則為:從A→B和A可以推出B。在該公理系統中,聯結詞∨,∧和凮通過定義引入,A∨B定義為(A→B)→ B;A∧B定義為塡(塡A∨塡B);A凮B定義為(A→B)∧(B→A)。把多值邏輯系統化,就可以研究這種系統的邏輯特徵,如系統的一致性和完全性。這方面的一個結果,是證明了對於大於2的自然數n、m,當m>n且m是n的倍數時,n值邏輯是m值邏輯的真子系統。多值命題邏輯與適當的量詞理論結合在一起,就構成多值謂詞邏輯。對布爾值邏輯說來,已證明了,經典謂詞演算的公理和推理規則在每一布爾值邏輯中都成立。