馬爾可夫半群

馬爾可夫半群亦稱馬爾可夫轉移半群。是一種運算元。指由齊次馬爾可夫過程的轉移函數定義的半群運算元。設(E，E)為可測空間，為E上所有E可測有界實值函數的空間。在中引入范數，則就成為巴拿赫空間。令是以為相空間的齊次馬氏過程，它的轉移函數為在上定義運算元：

則，且為有界線性運算元。因此，運算元族構成運算元半群，這就是馬爾可夫(轉移)半群。由於這個半群總可完全惟一地決定過程的轉移函數，考慮馬爾可夫過程相應的運算元半群是很有好處的。由此而發展了一整套馬爾可夫半群理論。

人們還可以考慮另一個半群：設表示上有限符號測度的巴拿赫空間，其上的范數定義為全變差，即，其中 為E關於μ的任一分解，對每一，令

則：構成上的有界線性運算元半群。

運算元與T*有著共軛的關係。但這種關係不是完全的，因為中一般沒有一個是另一個的整個共軛空間。雖然如此，人們還是只需研究兩個半群中的一個就可以了。一般地，研究較為方便些。

對於非齊次情形，也相應有類似的帶有兩個參數的半群運算元族與。

半群是最簡單、最自然的一類代數系統。一個非空集合S連同定義在它上面的一個結合的(即滿足結合律的)二元運算“·”的代數系統稱為一個半群。半群簡記為S。

半群是群的推廣。群自然是半群；反之顯然未必。半群也是環的推廣。環在只考慮它的乘法運算的時候是一個半群，稱為環的乘半群；但任何一個帶零半群卻未必是某個環的乘半群。半群代數理論的系統研究始於20世紀50年代(雖然，這方面的工作可追溯到1904年蘇士凱維奇(Suschkwitz，A.K.)關於有限半群的論文)。在數學內部和外部的巨大推動下，半群理論已成為代數學的一個公認的分支學科，並早已以其特有的方法獨立於群論和環論之外。在20世紀60年代，蘇聯和美國率先出版了兩本專著，利雅平(Ляпин，E.C.)的《半群》和克利福德(Clifford，A.H.)與普雷斯頓(Preston，G.B.)的兩卷《半群代數理論》，這對半群代數理論的發展，在國際上起了巨大的推動作用。由德國斯普林格出版社出版的《半群論壇》更是有關半群理論的一個重要的國際性專門刊物。許多數學家在世界各地開展半群理論的研究和各層次高級人才的培養(直到博士后).半群代數理論是半群理論中最基本、最活躍、也最富成果的一部分。此外，尚有半群的分析、拓撲和序理論。

運算元半群是依賴於參數且對乘法運算封閉的運算元族。設X是線性空間，是X上的線性運算元。如果對任何，有，則稱為單參數運算元半群，或簡稱運算元半群。顯然，運算元半群即把參數t的加法半群(因限制故僅是加法半群)變成運算元(按運算元乘法)的半群。對於半群，通常總加上假設。在泛函分析中，通常要假設X是巴拿赫空間或拓撲線性空間(重要的是局部凸拓撲線性空間)，並且把視定義在(或)上運算元值函數時，還要假設有某種連續性，具體可見類運算元半群，類等度連續運算元半群，解析運算元半群等。上面談的是線性運算元半群，此外還有非線性運算元半群。

運算元半群理論是泛函分析的重要分支之一，主要研究各種類型的運算元半群和生成元的特徵，以及指數公式的各種表達形式。它在微分方程、概率論(馬氏過程)、系統理論、逼近論和量子理論中是經常出現的。

馬爾可夫過程簡稱馬氏過程。一類重要的隨機過程。設為定義在概率空間上取值於可測空間的隨機過程，為的上升σ域族，。如果下面的性質1成立：

1.

則稱過程為馬爾可夫過程，可測空間稱為馬爾可夫過程的狀態空間。一般情形下，因為要考慮形如集合的概率，人們還要求E包含所有單點集。性質1與下列性質之一等價：

2.

3.

注意，若性質1，2，3成立，則把其中的換成的自然σ域族后相應的性質仍成立。而且這時性質2有如下的直觀意義：當已知系統在時刻t以前(含t)的歷史時，系統在t以後的發展只依賴於系統在時刻t的狀態而與它在t以前的情況無關。此即所謂馬爾可夫性，這正是馬爾可夫過程的本質所在。

應當指出，儘管一些著作中也把馬爾可夫性稱為無後效性，但它和多數著作(包括本書)中提到的無後效性是不一樣的。後者是指過程的獨立增量性質。相對於此，馬爾可夫性只是一種條件無後效性。

完備的賦范線性空間被稱為巴拿赫空間，是泛函分析研究的基本內容之一。

20世紀以來，當人們研究了許多具體的無限維空間及其上面相應的收斂性以後，自然而然地轉向抽象形態的線性空間以及按范數收斂的概念。德國數學家希爾伯特、法國數學家弗雷歇和匈牙利數學家裡斯在1904—1918年間所引入的函數空間是建立巴拿赫空間理論的基礎。在這些空間里，強收斂、弱收斂、緊性、線性泛函、線性運算元等基本概念已經得到初步研究。

1922—1923年，波蘭數學家巴拿赫、奧地利數學家哈恩和美國數學家N.維納等分別獨立地引入了賦范線性空間的概念，並以巴拿赫的姓氏來命名。1922年，巴拿赫開始根據他所引入的公理來系統研究已有的函數空間，得到深刻的結果；同一年，哈恩從當時分析數學的許多成果中提煉出共鳴定理;1922—1923年巴拿赫得到壓縮映射的不動點定理、開映射定理。1927年和1929年哈恩和巴拿赫先後證明了完備賦范空間上泛函延拓定理，引入了賦范線性空間的對偶空間(當時稱之為極空間)，這個定理的推廣形式後來在局部凸拓撲線性空間理論中起了重要作用。1931年，巴拿赫寫成《線性運算元理論》。至此，完備賦范線性空間理論的獨立體系已基本形成，並且在不到十年的時間內便發展成本身相當完整而又有多方面應用的理論。