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自相關函數

自相關函數(Autocorrelation Function)在不同的領域,定義不完全等效。在某些領域,自相關函數等同於自協方差(autocovariance)。

自相關(英語:Autocorrelation),也叫序列相關, 是一個信號於其自身在不同時間點的互相關。非正式地來說,它就是兩次觀察之間的相似度對它們之間的時間差的函數。它是找出重複模式(如被雜訊掩蓋的周期信號),或識別隱含在信號諧波頻率中消失的基頻的數學工具。它常用於信號處理中,用來分析函數或一系列值,如時域信號。

定義


自相關函數
自相關函數
自相關函數(Auto Correlation Function)
在統計學上,自相關被定義為,兩個隨機過程中不同時刻的數值之間的皮爾森相關(Pearson correlation).如果X為廣義平穩過程,則的期望以及標準差不隨時間t變化,則自相關函數可以表示為時間延遲的函數,如下
信號處理
其中“*”是卷積算符,為取共軛
同一時間函數在瞬時t和的兩個值相乘積的平均值作為延遲時間t的函數,它是信號與延遲后信號之間相似性的度量。延遲時間為零時,則成為信號的均方值,此時它的值最大。 
簡而言之,自相關函數是表達信號和它的多徑信號的相似程度。一個信號經過類似於反射、折射等其它情況的延時后的副本信號與原信號的相似程度。

性質


以下以一維自相關函數為例說明其性質,多維的情況可方便地從一維情況推廣得到。
對稱性:從定義顯然可以看出。連續型自相關函數為偶函數。
當f為實函數時,有:
當f是複函數時,該自相關函數是厄米函數,滿足:
其中星號表示共軛。
連續型實自相關函數的峰值在原點取得,即對於任何延時 τ,均有 。該結論可直接有柯西-施瓦茲不等式得到。離散型自相關函數亦有此結論。 
周期函數的自相關函數是具有與原函數相同周期的函數。
兩個相互無關的函數(即對於所有 τ,兩函數的互相關均為0)之和的自相關函數等於各自自相關函數之和。
由於自相關函數是一種特殊的互相關函數,所以它具有後者的所有性質。
連續時間白雜訊信號的自相關函數是一個δ函數,在除 之外的所有點均為0。
維納-辛欽定理(Wiener–Khinchin theorem)表明,自相關函數和功率譜密度函數是一對傅里葉變換對:
實值、對稱的自相關函數具有實對稱的變換函數,因此此時維納-辛欽定理中的復指數項可以寫成如下的餘弦形式:

舉例


白雜訊的自相關函數為δ函數:
具有羅倫茲功率譜的色雜訊的自相關函數為:
 

應用


信號處理中,自相關可以提供關於重複事件的信息,例如音樂節拍(例如,確定節奏)或脈衝星的頻率(雖然它不能告訴我們節拍的位置)。另外,它也可以用來估計樂音的音高。