阿基米德公理
阿基米德公理
在抽象代數和分析學中，以古希臘數學家阿基米德命名 的阿基米德公理（又稱阿基米德性質），是一些賦范的群、域和代數結構具有的一個性質。粗略地講，它是指沒有無窮大或無窮小的元素的性質。由於它出現在阿基米德的《論球體和圓柱體》的公理五，1883年，奧地利數學家Otto Stolz賦予它這個名字。
其實在歷史上，首先是一個希臘數學家“歐多克索斯”首先公布的，早於阿基米德100年。阿基米德本人也在手稿中坦言了這一點，但是遵從傳統，一般稱之為“阿基米德公理（性質）”
1：對任一正數c，有自然數n滿足.
2：對任一正數ε，有自然數n滿足.
（以上兩種定義方法是等價的，下面有證明其等價的過程）
阿基米德公理（性質）的證明：（反證法）
首先，設有由關聯的兩個正數c與ε，對自然數n，當且僅當時，.
這樣 定義1 當且僅當 定義2 成立時成立。
現在證明定義1：
假設這個性質不成立，即假設有一正數c，不存在於c的自然數。由正性公理可推知：對於任意自然數n，，此時自然數集N有上界，由完備性公理知N有最小上界，記為b.
因為b是自然數集N的最小上界，則不是N的上界，這樣，可以選取一個自然數，因而：
所以自然數大於b.這與b是N的上界的選取相矛盾，故假設不成立。
所以，對任一正數c，有自然數n滿足.
歐幾里得的解釋：
任意給定兩個正實數a、b，必存在正整數n，使。
幾何描述：在長短不同的兩條線段中，無論較長的線段怎樣長，較短的線段怎樣短，總可以在較長的線段上連續截取較短的線段，並且截到某一次以後，必出現下面兩種情況：
1：沒有剩餘；
2：得到一條短於較短線段的剩餘線段。
例1：
在一條直線上截取任意兩條線段A,B。都符合
基本信息
- 外文名
- archimedean axiom
- 命名人
- 奧地利數學家Otto Stolz
- 應用學科
- 數學
- 命名時間
- 1883年