調和數列

調和級數是各項倒數為等差數列的級數，通常指項級數

各項倒數所成的數列（不改變次序）為等差數列。從第2項起，它的每一項是前後相鄰兩項的調和平均，故名調和級數。

推而廣之，具有這種性質的每一個級數，即形如

的級數也稱為調和級數，其中 a,b 是常數. 調和級數是發散的，但其部分和

增長極慢。

歐拉 (Euler,L.) 計算過與是等價無窮大，更準確地 ，有 ，其中 是歐拉常數， 。這是歐拉於1740 年發現的，更一般地，級數

稱為廣義調和級數，亦簡稱調和級數，它的通俗名稱是 級數，當 時收斂， 時發散。

定義1：正整數的倒數組成的數列，稱為調和數列。

定義2：若數列 滿足 （，為常數），則稱數列 調和數列。

對任意正整數n∈N，有 不是整數。

證明：若不然，則令 （ k∈ Z）。考察正整數，使得，由整數的唯一分解性，對任意整數 有，其中 （事實上當且僅當時等號取得，若不然則有 ，矛盾！）。令 為1— n最小公倍數，則有為偶數（因為 B中顯然有因子2），但為奇數（因為B中最多只有個因子2），為偶數（因為 ）。故有 為奇數但 為偶數，矛盾！所以假設不成立，非整。

人們已經研究調和數列已經幾百年了。但是迄今為止沒有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式（當n很大時）：

（稱作歐拉常數，專為調和級數所用，至今不知是有理數還是無理數）

人們傾向於認為它沒有一個簡潔的求和公式。但是，不是因為它是發散的，才沒有求和公式。相反的，例如等差數列是發散的，公比的絕對值大於1的等比數列也是發散的，它們都有求和公式。

當 時

這個級數是發散的。簡單的說，結果為

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用高中知識也是可以證明的，如下：

對於任意一個正數，把 分成有限個，必然能夠找到，使得

所以 時，

（由 也可證明）。