平面

平面的畫法

水平的平面可以畫成一個平行四邊形，銳角畫成45°，鈍角畫成135°，橫邊是鄰邊的2倍。

具體畫法可以根據題意，方便做題就可以

平面表示方法

平面表示方法：

（1）用希臘字母α、β、γ寫在一個角上。如平面α、平面β。

（2）用四個頂點的字母或者對角線的字母。如平面ABCD、平面AC。

1、點A在平面α內，記作A∈α；點B不在平面α內，記作B不屬於α。

2、點P在直線l上，記作P∈l；點P在直線l外，記作P不屬於I。

3、如果直線l上的所有點都在平面α內，就說 直線l在平面α內，或者 平面α經過直線l，記作l⊂α，否則說 直線l在平面α外，記作l不屬於α。

4、平面α、β相交於直線l，記作α∩β=l。

5、直線a在平面α內 記作 a⊂α

公理一　如果一條直線上的兩點在一個平面內，那麼這條直線在此平面內。

公理二　過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

公理三　如果兩個不重合的平面有一個公共點，那麼它們有且只有一條過該點的公共直線。

公理四平行於同一條直線的兩條直線互相平行。

推論一　經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面。

推論二　經過兩條相交直線，有且只有一個平面。

推論三　經過兩條平行直線，有且只有一個。

平面相交的判定

如果兩個平面有一個公共點，就說這兩個平面相交。

線面平行的判定

平面外的一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

平面平行的判定

一　如果一個平面內有兩條相交直線都平行於另一個平面，那麼這兩個平面平行。

二　垂直於同一條直線的兩個平面平行。

線面平行的性質

一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線平行。

平面平行的性質

一如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那麼它們的交線平行。

二如果一條直線在一個平面內，那麼與此平面平行的平面與該直線平行。

線面垂直的判定

一一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

二如果一條直線垂直於一個平面，那麼與這條直線平行的直線垂直於該平面。

平面垂直的判定

一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。

線面垂直的性質

一 垂直於同一個平面的兩條直線平行。

二 若直線垂直於平面，則直線垂直於這個平面的所有直線。

三平行於同一條直線的兩條直線互相平行。

平面垂直的性質

兩個平面垂直，則一個平面內垂直於交線的直線與另一個平面垂直。

平面

在空間中，到兩點距離相等的點的軌跡叫做平面。

根據定義，設動點為，兩點分別為和

則

形式為

平面的法向量

取平面內三點： 設向量為平面的法向量，則 則為平面的一個法向量。

平面切割

直線切割平面

直線切割平面是指用直線將平面劃分成多個部分。

n條直線最多將平面分割成1+n個部分，最少將平面分割成n+1個部分。

證明：（1）有一條直線時，最少分成2部分，最多分成1+1=2部分；

（2）有兩條直線時，最少分成4部分，最多分成1+1+2=4部分，此時兩直線有一個交點；

（3）有三條直線時，最少分成6部分，最多分成1+1+2+3=7部分，此時三條直線有三個交點；

（4）設直線條數有n條，分成的平面最多有a個，最少有b個，有以下規律：

，此時n條直線有n個交點；b=2n；

圓切割平面是指用圓將平面劃分成多個部分。

n個圓最多將平面分割成2+n（n-1）個部分，最少將平面分割成2n個部分。

證明：

設n個圓最多可以把平面分成S(n)個部分.

則可得：

S(1)=2；

S(2)=4；

...

前n-1個圓最多將平面分成S(n-1)個部分，此時，對於第n個圓來說，它與先前的n-1個圓最多有2(n-1)個交點，即此第n個圓最多被這2(n-1)個交點分成2(n-1)條圓弧段。由於每增加一個圓弧段，便可將原來的某個區域分為兩個區域（此處最好看圖分析）.因此，第n個圓使平面增加了2(n-1)個區域。因此可得遞推關係式：

, 其中n大於等於2.

由此遞推關係式得到：

即n個圓最多可以把平面分成2+n（n-1）個部分。

證明最少同直線。

三角形切割平面

三角形切割平面是指用三角形將平面劃分成多個部分。

n個三角形最多將平面分割成3n（n-1）+2個部分，最少將平面分割成2n個部分。

證明：平面本身是1部分．一個三角形將平面分成三角形內、外2部分，即增加了1部分，

兩個三角形不相交時將平面分成3部分，相交時，交點越多分成的部分越多（見下圖）；

由上圖看出，新增加的部分數與增加的交點數相同，所以，再畫第3個三角形時，應使每條邊的交點盡量多；

對於每個三角形，因為1條直線最多與三角形的兩條邊相交，所以第3個三角形的每條邊最多與前面2個三角形的各兩條邊相交，共可產生（個）交點，即增加12部分；

因此，3個三角形最多可以把平面分成：（部分）；

由上面的分析，當畫第n（n≥2）個三角形時，每條邊最多與前面已畫的（n-1）個三角形的各兩條邊相交，

共可產生交點：（個），能新增加6（n-1）部分，

因為1個三角形時有2部分，所以n個三角形最多將平面分成的部分數是：

證明最少同直線。

有關平面的關係

直線和平面

設直線方程為平面方程為

屬於：

平行：

相交：

垂直：

平面和平面

設平面a的方程為,平面b的方程為

相交：不平行也不重合

平行：

重合：

垂直：

有關平面的關係

設平面e、f的法向量為c、d 直線m的方向向量為a (把直線的方向向量(k,l,1)代入，

把平面的法向量(a,b,c)代入

直線和平面所成的角：

設b為m和e所成的角，則

二面角：當雙法向量的朝向一致時，平面e、f的法向量為c、d

設二面角e-e∩f-f為a，那麼

當雙法向量的朝向不一致時，平面e、f的法向量為c、d

設二面角e-e∩f-f為a，那麼

空間距離的求解

點到平面的距離：設PA為平面的一條斜線，O是P點在a內的，PA和a所成的角為b，n為a的法向量。

易得：

直線到平面的距離為在直線上一點到平面的距離；

平面到平面的距離為在平面上一點到平面的距離；

點到直線的距離：A∈l,O是P點在l上的射影，PA和l所成的角為b，s為l的方向向量。

易得：