極角

在平面上取一定點O，從O引一條水平射線Ox，規定方向自左至右，再選定一個長度單位並規定角旋轉的正方向，通常取逆時針方向，這樣就構成了一個 極坐標系，如圖1所示，點O叫作 極點，射線Ox叫作極軸。

在極坐標系中，平面上任意一點M的位置，可以由OM的長度和從Ox到OM的角 來確定，把 叫作點M的 極徑，叫作點M的 極角，有序實數對 叫作點M的 極坐標，記作。

特別地，當點M在極點時，它的坐標是，可以取任意值，當點M在極軸上時，它的坐標是，可以取任意正值。

如圖2所示，在極坐標系中，點 的極坐標分別為。

在實際應用時，極徑 和極角 也可以取負值，當 時，點 在 的終邊上取一點，使，當 時，點 在角 終邊的反向延長線上取一點，使，如圖3所示，當極軸按順時針方向旋轉時， ．在如圖4所示的極坐標系中，點 的極坐標分別為。

由此可見，對於任意給定的一對實數 和，在平面上就有唯一確定的點 與之相對應，反過來，平面上任意一點的極坐標卻可以有無數多種表示法，圖4中的點 的極坐標還可以表示為 這裡 相差 的整數倍，因此，平面上的點和它的極坐標 的關係不是一一對應的，為了使點M(極點除外)的極坐標能唯一確定，一般取。

極坐標系和直角坐標系是兩種不同的坐標系，同一個點既可以用極坐標表示，也可以用直角坐標表示。把直角坐標系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，並在兩種坐標系中取相同的長度單位，如圖5所示，設M是平面內任意一點，它的直角坐標是 極坐標是，顯然有

利用上式，可以把點M的極坐標化為直角坐標。

由上面的公式，又可得

利用該公式，可以把點M的直角坐標化為極坐標。

例1 把點M的極坐標 化為直角坐標。

解: 由公式 得

於是得點M的直角坐標為。

例2 把點M的直角坐標 化為極坐標。

解：由公式 得

因為點M在第二象限，所以 於是得點M的極坐標為。