坐標系
說明質點的位置運動的快慢方向
為了說明質點的位置、運動的快慢、方向等，必須選取其坐標系。在參照系中，為確定空間一點的位置，按規定方法選取的有次序的一組數據，這就叫做“坐標”。在某一問題中規定坐標的方法，就是該問題所用的坐標系。坐標系的種類很多，常用的坐標系有：笛卡爾直角坐標系、平面極坐標系、柱面坐標系（或稱柱坐標系）和球面坐標系(或稱球坐標系)等。中學物理學中常用的坐標系，為直角坐標系，或稱為正交坐標系。
從廣義上講：事物的一切抽象概念都是參照於其所屬的坐標系存在的，同一個事物在不同的作標系中就會有不同抽象概念來表示，坐標系表達的事物有聯繫的抽象概念的數量【既坐標軸的數量】就是該事物所處空間的維度。
兩件能相互改變的事物必須在同坐標系中。
如果物體沿直線運動，為了定量描述物體的位置變化，可以以這條直線為x軸，在直線上規定原點、正方向和單位長度，建立直線坐標系。一般來說，為了定量地描述物體的位置及位置的變化，需要在參考繫上建立適當的坐標系（coordinate system）。
坐標系可分為：
直線坐標系：物體在一條直線上運動，只需建立直線坐標系。
平面直角坐標系：物體在某一平面內運動。
有一天，笛卡爾（1596—1650，法國哲學家、數學家、物理學家）生病卧床，但他頭腦一直沒有休息，在反覆思考一個問題：幾何圖形是直觀的，而代數方程則比較抽象，能不能用幾何圖形來表示方程呢？這裡，關鍵是如何把組成幾何的圖形的點和滿足方程的每一組“數”掛上鉤。他就拚命琢磨。通過什麼樣的辦法、才能把“點”和“數”聯繫起來。突然，他看見屋頂角上的一隻蜘蛛，拉著絲垂了下來，一會兒，蜘蛛又順著絲爬上去，在上邊左右拉絲。
蜘蛛的“表演”，使笛卡爾思路豁然開朗。他想，可以把蜘蛛看做一個點，它在屋子裡可以上、下、左、右運動，能不能把蜘蛛的每個位置用一組數確定下來呢？他又想，屋子裡相鄰的兩面牆與地面交出了三條線，如果把地面上的牆角作為起點，把交出來的三條線作為三根數軸，那麼空間中任意一點的位置，不是都可以用這三根數軸上找到的有順序的三個數來表示嗎？反過來，任意給一組三個有順序的數，例如3.2.1，也可以用空間中的一個點 P來表示它們（如圖 1）。同樣，用一組數（a， b）可以表示平面上的一個點，平面上的一個點也可以用一組二個有順序的數來表示（如圖2）。於是在蜘蛛的啟示下，笛卡爾創建了直角坐標系。
無論這個傳說的可靠性如何，有一點是可以肯定的，就是笛卡爾是個勤于思考的人。這個有趣的傳說，就像瓦特看到蒸汽衝起開水壺蓋改進了蒸汽機一樣，說明笛卡爾在創建直角坐標系的過程中，很可能是受到周圍一些事物的啟發，觸發了靈感。
直角坐標系的創建，在代數和幾何上架起了一座橋樑。它使幾何概念得以用代數的方法來描述，幾何圖形可以通過代數形式來表達，這樣便可將先進的代數方法應用於幾何學的研究。
笛卡爾在創建直角坐標系的基礎上，創造了用代數方法來研究幾何圖形的數學分支——解析幾何。他的設想是：只要把幾何圖形看成是動點的運動軌跡，就可以把幾何圖形看成是由具有某種共同特性的點組成的。比如，把圓看成是一個動點對定點O作等距離運動的軌跡，也就可以把圓看作是由無數到定點O的距離相等的點組成的。把點看作是組成圖形的基本元素，把數看成是組成方程的基本元素，只要把點和數掛上鉤，也就可以把幾何和代數掛上鉤。
1.Z坐標
Z坐標的運動方向是由傳遞切削動力的主軸所決定的，即平行於主軸軸線的坐標軸即為Z坐標，Z坐標的正向為刀具離開工件的方向。
如果機床上有幾個主軸，則選一個垂直於工件裝夾平面的主軸方向為Z坐標方向；如果主軸能夠擺動，則選垂直於工件裝夾平面的方向為Z坐標方向；如果機床無主軸，則選垂直於工件裝夾平面的方向為Z坐標方向。圖3 所示為數控車床的Z坐標。
2.X坐標
X坐標平行於工件的裝夾平面，一般在水平面內。
如果工件做旋轉運動，則刀具離開工件的方向為X坐標的正方向；
如果刀具做旋轉運動，則分為兩種情況：
1)Z坐標水平時，觀察者沿刀具主軸向工件看時，+X運動方向指向右方；
2)Z坐標垂直時，觀察者面對刀具主軸向立柱看時，+X運動方向指向右方。
圖4所示為數控車床的X坐標。
3.Y坐標
在確定X、Z坐標的正方向後，可以用根據X和Z坐標的方向，按照右手直角坐標系來確定Y坐標的方向。
圖5所示為數控車床的Y坐標。
根據圖4所示的數控立式銑床結構圖，試確定X、Y、Z直線坐標。
(1)Z坐標：平行於主軸，刀具離開工件的方向為正。
(2)X坐標：Z坐標垂直，且刀具旋轉，所以面對刀具主軸向立柱方向看，向右為正。
(3)Y坐標：在Z、X坐標確定后，用右手直角坐標系來確定。
坐標系
恩格斯高度評價笛卡爾的工作，他說：“數學中的轉折點是笛卡爾的變數。有了變數，運動進入了數學，有了變數，辯證法進入了數學。”
坐標方法在日常生活中用得很多。例如象棋、國際象棋中棋子的定位；電影院、劇院、體育館的看台、火車車廂的座位及高層建築的房間編號等都用到坐標的概念。
隨著同學們知識的不斷增加，坐標方法的應用會更加廣泛。
數控機床的加工是由程序控制完成的，所以坐標系的確定與使用非常重要。根
據ISO841標準，數控機床坐標系用右手笛卡兒坐標系作為標準確定。數控車床平行於主軸方向即縱向為Z軸，垂直於主軸方向即橫向為X軸，刀具遠離工件方向為正向。
坐標系
數控車床有三個坐標系即機械坐標系、編程坐標系和工件坐標系。
1.機械坐標系的原點是生產廠家在製造機床時的固定坐標系原點，也稱機械零點。它是在機床裝配、調試時已經確定下來的，是機床加工的基準點。在使用中機械坐標系是由參考點來確定的，機床系統啟動后，進行返回參考點操作，機械坐標系就建立了。坐標系一經建立，只要不切斷電源，坐標系就不會變化。
2.編程坐標系是編程序時使用的坐標系，一般把把Z軸與工件軸線重合，X軸放在工件端面上。工件坐標系是機床進行加工時使用的坐標系，它應該與編程坐標系一致。能否讓編程坐標系與工坐標系一致，是操作的關鍵。
在使用中發現，FANUC系統與航天數控系統的機械坐標系確定基本相同，都是在系統啟動后回參考點確定。工件坐標系
3.工件坐標系（ Workpiece Coordinate System ）固定於工件上的笛卡爾坐標系，是編程人員在編製程序時用來確定刀具和程序起點的，該坐標系的原點可使用人員根據具體情況確定，但坐標軸的方嚮應與機床坐標系一致並且與之有確定的尺寸關係。
1.機床相對運動的規定
工件相對靜止，而刀具運動。
在機床上，始終認為工件靜止，而刀具是運動的。這樣編程人員在不考慮機床上工件與刀具具體運動的情況下，就可以依據零件圖樣，確定機床的加工過程。
坐標系
2.機床坐標系的規定
在數控機床上，機床的動作是由數控裝置來控制的，為了確定數控機床上的成形運動和輔助運動，必須先確定機床上運動的位移和運動的方向，這就需要通過坐標系來實現，這個坐標系被稱之為機床坐標系。
例如銑床上，有機床的縱向運動、橫向運動以及垂向運動，如圖1所示。在數控加工中就應該用機床坐標系來描述，如圖2所示。請按圖2中按鈕觀察機床坐標系的相互關係。
標準機床坐標系中X、Y、Z坐標軸的相互關係用右手笛卡爾直角坐標系決定：
1)伸出右手的大拇指、食指和中指，並互為90度。則大拇指代表X坐標，食指代表Y坐標，中指代表Z坐標。
坐標系
2)大拇指的指向為X坐標的正方向，食指的指向為Y坐標的正方向，中指的指向為Z坐標的正方向。
3)圍繞X、Y、Z坐標旋轉的旋轉坐標分別用A、B、C表示，根據右手螺旋定則，大拇指的指向為X、Y、Z坐標中任意一軸的正向，則其餘四指的旋轉方向即為旋轉坐標A、B、C的正向。
請按圖3中按鈕觀察機床運動的方向
（3）運動方向的規定
增大刀具與工件距離的方向即為各坐標軸的正方向。
編程坐標系編程人員根據零件圖樣及加工工藝等建立的坐標系。
編程坐標系一般供編程使用，確定編程坐標系時不必考慮工件毛坯在機床上的實際裝夾位置。如圖6所示。
編程原點是根據加工零件圖樣及加工工藝要求選定的編程坐標系的原點。
編程原點應盡量選擇在零件的設計基準或工藝基準上，編程坐標系中各軸的方嚮應該與所使用的數控機床相應的坐標軸方向一致，如圖7所示為車削零件的編程原點。
1.加工坐標系的確定
加工坐標系是指以確定的加工原點為基準所建立的坐標系。
加工原點也稱為程序原點，是指零件被裝夾好后，相應的編程原點在機床坐標系中
的位置。
坐標系
在加工過程中，數控機床是按照工件裝夾好后所確定的加工原點位置和程序要求進行加工的。編程人員在編製程序時，只要根據零件圖樣就可以選定編程原點、建立編程坐標系、計算坐標數值，而不必考慮工件毛坯裝夾的實際位置。對於加工人員來說，則應在裝夾工件、調試程序時，將編程原點轉換為加工原點，並確定加工原點的位置，在數控系統中給予設定（即給出原點設定值），設定加工坐標系后就可根據刀具當前位置，確定刀具起始點的坐標值。在加工時，工件各尺寸的坐標值都是相對於加工原點而言的，這樣數控機床才能按照準確的加工坐標系位置開始加工。圖8中O2為編程原點。
2.加工坐標系的設定
方法一：在機床坐標系中直接設定加工原點。
（1）加工坐標系的選擇
編程原點設置在工件軸心線與工件底端面的交點上。
設工作台工作面尺寸為800mm×320mm，若工件裝夾在接近工作台中間處，
則確定了加工坐標系的位置，其加工原點03就在距機床原點O1為X3.Y3.Z3處。並且X3=-345.700mm, Y3=-196.22mm, Z3=-53.165mm。
坐標系
（2）設定加工坐標系指令
1）G54～G59為設定加工坐標系指令。G54對應一號工件坐標系，其餘以此類推。可在MDI 方式的參數設置頁面中，設定加工坐標系。如對已選定的加工原點O3，將其坐標值
X3= -345.700mm
Y3= -196.220mm
Z3=-53.165mm
設在G54中，如圖10所示。則表明在數控系統中設定了一號工件加工坐標。設置頁面如圖10。
2）G54～G59在加工程序中出現時，即選擇了相應的加工坐標系。
方法二：通過刀具起始點來設定加工坐標系。
（1）加工坐標系的選擇
加工坐標系的原點可設定在相對於刀具起始點的某一符合加工要求的空間點上。
應注意的是，當機床開機回參考點之後，無論刀具運動到哪一點，數控系統對其位置都是已知的。也就是說，刀具起始點是一個已知點。
（2）設定加工坐標系指令
G92為設定加工坐標系指令。在程序中出現G92程序段時，即通過刀具當前所在位置即刀具起始點來設定加工坐標系。
G92指令的編程格式：G92 X a Y b Z c
坐標系
該程序段運行后，就根據刀具起始點設定了加工原點，如圖11所示。
從圖11中可看出，用G92設置加工坐標系，也可看作是：在加工坐標系中，確定刀具起始點的坐標值，並將該坐標值寫入G92編程格式中。
例題：在圖5中，當a=50mm,b=50mm,c=10mm時，使用G92指令設定加工坐標系。
設定程序段為 G92 X50 Y50 Z10。
1.數控銑床（FANUC 0M）加工坐標系的設定步驟
在選擇了圖12所示的被加工零件圖樣，並確定了編程原點位置后，可按以下方法進
行加工坐標系設定：
坐標系
（1）準備工作
機床回參考點，確認機床坐標系；
（2）裝夾工件毛坯
通過夾具使零件定位，並使工件定位基準面與機床運動方向一致；
（3）對刀測量
用簡易對刀法測量，方法如下：
用直徑為φ10的標準測量棒、塞尺對刀，得到測量值為X = -437.726, Y = -298.160,如圖2所示。Z = -31.833，如圖13所示。
（4）計算設定值
將前面已測得的各項數據，按設定要求運算。
X坐標設定值：X= -437.726+5+0.1+40= -392.626mm
註：如圖13所示。
-437.726mm為X坐標顯示值；
+5mm為測量棒半徑值；
+0.1mm為塞尺厚度；
+40.0為編程原點到工件定位基準面在X坐標方向的距離。
Y坐標設定值：Y= -298.160+5+0.1+46.5= -246.46mm
註：如圖2所示，-298.160mm為坐標顯示值；+5mm為測量棒半徑值；+0.1mm為塞尺厚度；+46.5為編程原點到工件定位基準面在Y坐標方向的距離。
Z坐標設定值：Z= -31.833-0.2=-32.033mm。
坐標系
註：-31.833為坐標顯示值；-0.2為塞尺厚度，如圖3所示。
通過計算結果為：X -392.626；Y -246.460；Z -32.033
（5）設定加工坐標系
將開關放在 MDI 方式下，進入加工坐標系設定頁面。輸入數據為：
X= -392.626 Y= -246.460 Z= -32.033
表示加工原點設置在機床坐標系的X= -392.626 Y= -246.460 Z= -32.033 的位置上。
（6）校對設定值
對於初學者，在進行了加工原點的設定后，應進一步校對設定值，以保證參數的正確性。
校對工作的具體過程如下：在設定了G54加工坐標系后，再進行回機床參考點操作，其顯示值為
X +392.626
Y +246.460
Z +32.033
這說明在設定了G54加工坐標系后，機床原點在加工坐標系中的位置為：
X +392.626
Y +246.460
Z +32.033
這反過來也說明G54的設定值是正確的。
2.注意事項
（1）G54～G59設置加工坐標系的方法是一樣的，但在實際情況下，機床廠家為了用戶的不同需要，在使用中有以下區別：利用G54設置機床原點的情況下，進行回參考點操作時機床坐標值顯示為G54的設定值，且符號均為正；利用G55～G59設置加工坐標系的情況下，進行回參考點操作時機床坐標值顯示零值。
（2）G92指令與G54～G59指令都是用於設定工件加工坐標系的，但在使用中是有區別的。G92指令是通過程序來設定、選用加工坐標系的，它所設定的加工坐標系原點與當前刀具所在的位置有關，這一加工原點在機床坐標系中的位置是隨當前刀具位置的不同而改變的。
（3）G54～G59指令是通過MDI在設置參數方式下設定工件加工坐標系的，一旦設定，加工原點在機床坐標系中的位置是不變的，它與刀具的當前位置無關，除非再通過MDI 方式修改。
（4）本課程所例加工坐標系的設置方法，僅是FANUC系統中常用的方法之一，其餘不一一例舉。其它數控系統的設置方法應按隨機說明書執行。
3.常見錯誤
當執行程序段G92 X 10 Y 10時，常會認為是刀具在運行程序後到達X 10 Y 10 點上。其實， G92指令程序段只是設定加工坐標系，並不產生任何動作，這時刀具已在加工坐標系中的 X10 Y10點上。
G54～G59指令程序段可以和G00、G01指令組合，如G54 G90 G01 X 10 Y10時，運動部件在選定的加工坐標系中進行移動。程序段運行后，無論刀具當前點在哪裡，它都會移動到加工坐標系中的X 10 Y 10 點上。
極坐標繫到直角坐標系的轉化：
x=ρcosθ
y=ρsinθ在極坐標系與平面直角坐標系（笛卡爾坐標系）間轉換 極坐標系中的兩個坐標r 和θ 可以由下面的公式轉換為 直角坐標系下的坐標值
由上述二公式，可得到從直角坐標系中x 和y 兩坐標如何計算出極坐標下的坐標
在x = 0的情況下：若y 為正數θ = 90° ( radians)；若y 為負，則θ = 270° ( radians).
極坐標的方程
用極坐標系描述的曲線方程稱作極坐標方程，通常表示為r為自變數θ的函數。
圓
方程為r(θ) = 1的圓。
在極坐標系中，圓心在(r0, φ) 半徑為a 的圓的方程為
該方程可簡化為不同的方法，以符合不同的特定情況，比如方程r(θ)=a表示一個以極點為中心半徑為a的圓。
直線
經過極點的射線由如下方程表示θ=φ,其中φ為射線的傾斜角度，若 m為直角坐標系的射線的斜率，則有φ =arctanm。任何不經過極點的直線都會與某條射線垂直。這些在點處的直線與射線θ = φ 垂直，其方程為
玫瑰線
一條方程為r(θ) = 2 sin 4θ的玫瑰線。
極坐標的玫瑰線（polar rose）是數學曲線中非常著名的曲線，看上去像花瓣，它只能用極坐標方程來描述，方程如下：
r(θ)=a cos kθ
r(θ)=a sin kθ
OR如果k是整數，當k是奇數時那麼曲線將會是k個花瓣，當k是偶數時曲線將是2k個花瓣。如果k為非整數，將產生圓盤（disc）狀圖形，且花瓣數也為非整數。注意：該方程不可能產生4的倍數加2（如2，6，10……）個花瓣。變數a代表玫瑰線花瓣的長度。
方程r(θ) = θ (0 < θ < 6π)的一條阿基米德螺線。
阿基米德螺線在極坐標里使用以下方程表示：r(θ)=a+bθ
.改變參數a將改變螺線形狀，b控制螺線間距離，通常其為常量。阿基米德螺線有兩條螺線，一條θ > 0，另一條θ < 0。兩條螺線在極點處平滑地連接。把其中一條翻轉 90°/270°得到其鏡像，就是另一條螺線。
圓錐曲線
橢圓，展示了半正焦弦
圓錐曲線方程如下：
其中l表示半正焦弦，e表示離心率。如果e < 1，曲線為橢圓，如果e = 1，曲線為拋物線，如果e > 1，則表示雙曲線。其中e表示離心率，p表示焦點到準線的距離。
其他曲線
由於坐標系統是基於圓環的，所以許多有關曲線的方程，極坐標要比直角坐標系（笛卡爾形式）簡單得多。
設P（x，y，z）為空間內一點，則點P也可用這樣三個有次序的數r，φ，θ來確定，其中r為原點O與點P間的距離，θ為有向線段與z軸正向所夾的角，φ為從正z軸來看自x軸按逆時針方向轉到有向線段在坐標平面xoy的投影所轉過的角，這裡M為點P在xOy面上的投影。這樣的三個數r，φ，θ叫做點P的球面坐標，這裡r，φ，θ的變化範圍為
r∈[0,+∞),
φ∈[0, 2π],
θ∈[0, π] .
當r,θ或φ分別為常數時，可以表示如下特殊曲面：
r = 常數，即以原點為心的球面；
θ= 常數，即以原點為頂點、z軸為軸的圓錐面；
φ= 常數，即過z軸的半平面。
與直角坐標系的轉換:
1).球坐標系(r,θ，φ)與直角坐標系(x,y,z)的轉換關係：
x=rsinθcosφ
y=rsinθsinφ
z=rcosθ
2).反之，直角坐標系(x,y,z)與球坐標系(r,θ，φ)的轉換關係為：
；
φ= arctan(）；
θ= arccos();
球坐標系下的微分關係：
在球坐標系中，沿基矢方向的三個線段元為：
dl(r)=dr, dl(θ)=rdθ， dl(φ)=rsinθdφ
球坐標的面元面積是：
體積元的體積為：
球坐標系在地理學、天文學中有著廣泛應用。在測量實踐中，球坐標中的θ角稱為被測點P（r，θ，φ）的方位角，90°-θ稱為高低角。
柱坐標系中的三個坐標變數是 r、φ、z。與直角坐標系相同，柱坐標系中也有一個z變數。
各變數的變化範圍是：
r∈[0,+∞),
φ∈[0, 2π],
z∈R
其中
x=rcosφ
y=rsinφ
z=z
西安80坐標系與北京54坐標系其實是一種橢球參數的轉換作為這種轉換在同一個橢球里的轉換都是嚴密的，而在不同的橢球之間的轉換是不嚴密，因此不存在一套轉換參數可以全國通用的，在每個地方會不一樣，因為它們是兩個不同的橢球基準。那麼，兩個橢球間的坐標轉換，一般而言比較嚴密的是用七參數布爾莎模型，即 X 平移， Y 平移， Z 平移， X 旋轉（WX）， Y 旋轉（WY）， Z 旋轉（WZ），尺度變化（DM ）。要求得七參數就需要在一個地區需要 3 個以上的已知點。如果區域範圍不大，最遠點間的距離不大於 30Km（經驗值） ，這可以用三參數，即 X 平移， Y 平移， Z 平移，而將 X 旋轉， Y 旋轉， Z 旋轉，尺度變化面DM視為 0 。
方法如下（MAPGIS平台中）：
第一步：向地方測繪局（或其它地方）找本區域三個公共點坐標對（即54坐標x，y，z和80坐標x，y，z）；
第二步：將三個點的坐標全部轉換以弧度為單位。（菜單：投影轉換/輸入單點投影轉換，計算出這三個點的弧度值並記錄下來）
第三步：求公共點求操作係數（菜單：投影轉換/坐標系轉換）。如果求出轉換係數后，記錄下來。第四步：編輯坐標轉換係數。（菜單：投影轉換/編輯坐標轉換係數。）
最後進行投影變換，“當前投影”輸入80坐標系參數，“目的投影”輸入54坐標系參數。進行轉換時系統會自動調用曾編輯過的坐標轉換係數。
