反正切函數

反三角函數之一

反正切函數（inverse tangent）是數學術語，反三角函數之一，指函數y=tanx的反函數。計算方法：設兩銳角分別為A，B，則有下列表示：若tanA=1.9/5，則 A=arctan1.9/5；若tanB=5/1.9，則B=arctan5/1.9。如果求具體的角度可以查表或使用計算機計算。

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1定義 2性質 3計算

定義

正切函數y=tanx在開區間（x∈(-π/2,π/2)）的反函數，記作y=arctanx 或 y=tanx，叫做反正切函數。它表示(-π/2,π/2)上正切值等於 x 的那個唯一確定的角，即tan(arctan x)=x，反正切函數的定義域為R即(-∞，+∞)。反正切函數是反三角函數的一種。

由於正切函數y=tanx在定義域R上不具有一一對應的關係，所以不存在反函數。注意這裡選取是正切函數的一個單調區間。而由於正切函數在開區間(-π/2,π/2)中是單調連續的，因此，反正切函數是存在且唯一確定的。引進多值函數概念后，就可以在正切函數的整個定義域(x∈R，且x≠kπ+π/2，k∈Z)上來考慮它的反函數，這時的反正切函數是多值的，記為 y=Arctan x，定義域是(-∞，+∞)，值域是 y∈R，y≠kπ+π/2，k∈Z。於是，把 y=arctan x (x∈(-∞，+∞)，y∈(-π/2,π/2))稱為反正切函數的主值，而把 y=Arctan x=kπ+arctan x (x∈R，y∈R，y≠kπ+π/2，k∈Z)稱為反正切函數的通值。反正切函數在(-∞，+∞)上的圖像可由區間(-π/2,π/2)上的正切曲線作關於直線 y=x 的對稱變換而得到，如圖所示。

反正切函數的大致圖像如圖所示，顯然與函數y=tanx,（x∈R）關於直線y=x對稱，且漸近線為y=π/2和y=-π/2。

性質

定義域：R

值域：(-π/2,π/2)

奇偶性：奇函數

周期性：不是周期函數

單調性：（－∞，﹢∞）單調遞增

計算

相關計算公式如下：

反三角函數在無窮小替換公式中的應用：當x→0時，arctanx~x。

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