目標規劃模型

美國學者A.查納斯和W.W.庫珀在把線性規劃應用於企業時，認識到企業經營具有多目標的特點，因而在1961年首先提出了目標規劃的概念和數學模型。目標規劃的基本概念是，當規定的目標與求得的實際目標值之間的差值為未知時，可用偏差量d來表示。d表示實際目標值超過規定目標值的數量，稱為正偏差量，d表示實際目標值未達到規定目標值的數量，稱為負偏差量。

如果企業決策者將利潤量、材料消耗量、能源消耗量等可控指標作為目標時，則可根據各項指標的完成對企業經營活動作出貢獻的重要程度，分別給這些目標以不同的優先順序別pk，k=1，2，…，K。如果規定利潤最重要，則確定為p1；材料消耗量次之，則確定為p2等等。p1優先於p2，p2優先於p3等等。在同一優先順序別中也可以同時有幾個目標。在進行目標規劃時凡是給予優先順序別p1的目標，應首先實現，在此基礎上再相繼實現p2 、p3等級別的相應目標。最後使未能達到目標值的偏差量總和為最小。

式中Z為目標函數，min表示要求目標函數為最小；W、W分別表示第k個優先順序別中對第i個目標正、負偏差量d抜、d抶的加權係數，即表示不同偏差量的相對重要程度，W=0或W=0分別表示不考慮d抜或d抶； s.t.表示在下述的約束下；gi表示第i個規定目標值，c嫐為係數，xj為決策變數,n為決策變數數，m 為目標個數；alj為技術係數，bl為第l種有限資源量，L為有限資源個數。

某工業企業欲在計劃期內生產A、B兩種產品，其單位產品所需設備台時、材料及利潤匯總如下表：

若工廠決策者只要求獲取最大利潤這一目標，則可用線性規劃求解，求得最優解x=(4，0，4，0)，即A產品生產4個單位，B產品不生產，設備台時剩餘4個單位，材料正好用完，所獲最大利潤為4×4=16萬元。但決策者認為還應顧及滿足社會需求的目標，並依次確定三個優先次序p1、p2和p3。①p1:在計劃期間內工廠獲利至少在12萬元以上，求解minp1(d妷),即要求達不到利潤目標值的負偏差量最小。②p2：要求A產品的數量為B產品的1.5倍，求解minp2(d娚+d娛)，即要求B產品超過量和不足量偏差值均為最小。③p3：要求設備台時空閑時間最少，求解minp3(d婣),即要求設備空閑偏差量最小。根據目標規劃的一般形式可列出這個問題的方程：

minZ=P1(d妷)+p2(d娚+d娛)+p3(d婣)

s.t 4x1+3.2x2－d奙+d妷=12

x1+1.5x2－d娚+d娛=0

2x1+4x2－d幦+d婣=12

3x1+3x2－d嬃+d嬄=12

x1，x2≥0；　d抜，d抶≥0　（i=1～4）

上面的應該是這樣格式：

式中d嬃，d嬄分別為材料的超額量和剩餘量。問題的解在圖中示出。可以確定:X=(2.4,1.6),d妷=0,d奙=2.72，d娚=d娛=0，d幦=0，d婣=0.8，即A產品生產2.4單元，B產品生產1.6單元，利潤目標超額 2.72萬元，A產品為B產品的1.5倍，設備台時剩餘0.8單位，即Z=0+0+0.8=0.8為最小。

在一般情況下，可在目標規劃求解之前，先用線性規劃求出主要目標的最優解，作為最優平衡的大致界限，再用目標規劃進行調整，可用單純形法通過電子計算機求解模型，根據求解結果分析目標值和實際值產生差距的原因，並提出相應的措施，最終求得滿意解為止。