數學模型

數學模型是針對參照某種事物系統的特徵或數量依存關係，採用數學語言，概括地或近似地表述出的一種數學結構，這種數學結構是藉助於數學符號刻劃出來的某種系統的純關係結構。從廣義理解，數學模型包括數學中的各種概念，各種公式和各種理論。因為它們都是由現實世界的原型抽象出來的，從這意義上講，整個數學也可以說是一門關於數學模型的科學。從狹義理解，數學模型只指那些反映了特定問題或特定的具體事物系統的數學關係結構，這個意義上也可理解為聯繫一個系統中各變數間內的關係的數學表達。

數學模型所表達的內容可以是定量的，也可以是定性的，但必須以定量的方式體現出來。因此，數學模型法的操作方式偏向於定量形式。

1）真實的、系統的、完整的，形象的反映客觀現象；

2）必須具有代表性；

3）具有外推性，即能得到原型客體的信息，在模型的研究實驗時，能得到關於原型客體的原因；

4）必須反映完成基本任務所達到的各種業績，而且要與實際情況相符合。

在建模過程中，要把本質的東西及其關係反映進去，把非本質的、對反映客觀真實程度影響不大的東西去掉，使模型在保證一定精確度的條件下，儘可能的簡單和可操作，數據易於採集。

隨著有關條件的變化和人們認識的發展，通過相關變數及參數的調整，能很好的適應新情況。

用字母、數字和其他數學符號構成的等式或不等式，或用圖表、圖像、框圖、數理邏輯等來描述系統的特徵及其內部聯繫或與外界聯繫的模型。它是真實系統的一種抽象。數學模型是研究和掌握系統運動規律的有力工具，它是分析、設計、預報或預測、控制實際系統的基礎。數學模型的種類很多，而且有多種不同的分類方法。

靜態和動態模型

靜態模型是指要描述的系統各量之間的關係是不隨時間的變化而變化的，一般都用代數方程來表達。動態模型是指描述系統各量之間隨時間變化而變化的規律的數學表達式，一般用微分方程或差分方程來表示。經典控制理論中常用的系統的傳遞函數也是動態模型，因為它是從描述系統的微分方程變換而來的（見拉普拉斯變換）。

分佈參數和集中參數模型

分佈參數模型是用各類偏微分方程描述系統的動態特性，而集中參數模型是用線性或非線性常微分方程來描述系統的動態特性。在許多情況下，分佈參數模型藉助於空間離散化的方法，可簡化為複雜程度較低的集中參數模型。

連續時間和離散時間模型

模型中的時間變數是在一定區間內變化的模型稱為連續時間模型，上述各類用微分方程描述的模型都是連續時間模型。在處理集中參數模型時，也可以將時間變數離散化，所獲得的模型稱為離散時間模型。離散時間模型是用差分方程描述的。

隨機性和確定性模型

隨機性模型中變數之間關係是以統計值或概率分佈的形式給出的，而在確定性模型中變數間的關係是確定的。

參數與非參數模型

用代數方程、微分方程、微分方程組以及傳遞函數等描述的模型都是參數模型。建立參數模型就在於確定已知模型結構中的各個參數。通過理論分析總是得出參數模型。非參數模型是直接或間接地從實際系統的實驗分析中得到的響應，例如通過實驗記錄到的系統脈衝響應或階躍響應就是非參數模型。運用各種系統辨識的方法，可由非參數模型得到參數模型。如果實驗前可以決定系統的結構，則通過實驗辨識可以直接得到參數模型。

線性和非線性模型

線性模型中各量之間的關係是線性的，可以應用疊加原理，即幾個不同的輸入量同時作用於系統的響應，等於幾個輸入量單獨作用的響應之和。線性模型簡單，應用廣泛。非線性模型中各量之間的關係不是線性的，不滿足疊加原理。在允許的情況下，非線性模型往往可以線性化為線性模型，方法是把非線性模型在工作點鄰域內展成泰勒級數，保留一階項，略去高階項，就可得到近似的線性模型。

現實世界的原型都是具有多因素、多變數、多層次的比較複雜的系統，對原型進行一定的簡化即抓住主要矛盾，數學模型應比原型簡化，數學模型自身也應是“最簡單”的。

由數學模型的研究可以推導出一些確定的結果，如果建立的數學模型在數學上是不可推導的，得不到確定的可以應用於原型的結果，這個數學模型就是無意義的。

數學模型實際上是人對現實世界的一種反映形式，因此數學模型和現實世界的原型就應有一定的“相似性”，抓住與原型相似的數學表達式或數學理論就是建立數學模型的關鍵性技巧。

首先要了解問題的實際背景，明確建模目的，搜集必需的各種信息，盡量弄清對象的特徵。

根據對象的特徵和建模目的，對問題進行必要的、合理的簡化，用精確的語言作出假設，是建模至關重要的一步。如果對問題的所有因素一概考慮，無疑是一種有勇氣但方法欠佳的行為，所以高超的建模者能充分發揮想象力、洞察力和判斷力，善於辨別主次，而且為了使處理方法簡單，應盡量使問題線性化、均勻化。

根據所作的假設分析對象的因果關係，利用對象的內在規律和適當的數學工具，構造各個量間的等式關係或其它數學結構。這時，便會進入一個廣闊的應用數學天地，這裡在高數、概率老人的膝下，有許多可愛的孩子們，他們是圖論、排隊論、線性規劃、對策論等許多許多，真是泱泱大國，別有洞天。不過應當牢記，建立數學模型是為了讓更多的人明了並能加以應用，因此工具愈簡單愈有價值。

可以採用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數值運算等各種傳統的和近代的數學方法，特別是計算機技術。一道實際問題的解決往往需要紛繁的計算，許多時候還得將系統運行情況用計算機模擬出來，因此編程和熟悉數學軟體包能力便舉足輕重。

對模型解答進行數學上的分析。”橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同"。能否對模型結果作出細緻精當的分析，決定了你的模型能否達到更高的檔次。還要記住，不論那種情況都需進行誤差分析，數據穩定性分析。

把數學上分析的結果翻譯回到現實問題，並用實際的現象、數據與之比較，檢驗模型的合理性和適用性。

取決於問題的性質和建模的目的。

按應用領域分類：

生物學數學模型

醫學數學模型

地質學數學模型

氣象學數學模型

經濟學數學模型

社會學數學模型

物理學數學模型

化學數學模型

天文學數學模型

工程學數學模型

管理學數學模型

按是否考慮隨機因素分類：

確定性模型

隨機性模型

按是否考慮模型的變化分類：

靜態模型

動態模型

按應用離散方法或連續方法分類：

離散模型

連續模型

按建立模型的數學方法分類：

幾何模型

微分方程模型

圖論模型

規劃論模型

馬氏鏈模型

按人們對事物發展過程的了解程度分類：

白箱模型：

指那些內部規律比較清楚的模型。如力學、熱學、電學以及相關的工程技術問題。

灰箱模型：

指那些內部規律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都還不同程度地有許多工作要做的問題。如氣象學、生態學經濟學等領域的模型。

黑箱模型：

指一些其內部規律還很少為人們所知的現象。如生命科學、社會科學等方面的問題。但由於因素眾多、關係複雜，也可簡化為灰箱模型來研究。

馬爾薩斯的人口理論：一個簡單（但粗略）的人口成長模型為馬爾薩斯成長模型（英語：Malthusian growth model）；另一個較理想且被大量使用的人口成長模型為邏輯函數和其延伸。

勢能場中的粒子模型：在此模型中，粒子被視為一個質量為m的點，其軌跡為一將時間映射至其空間坐標的函數x : R → R3，勢能場由一函數V:R3 → R給定，則其軌跡為如下微分方程的解：

需注意此模型假定粒子為一質點，但這在許多情形之下是錯誤的，如行星運動的模型之類。