復變數
復變數
如果複數是一個變數，則稱為復變數。一個復變數s有一個實部α、一個虛部ω，即s=σ+jω。它可以用s複平面上的一個點來表示。
設 與 為兩任意實數，以 表示 ，則式子 叫做複數。如以兩個實變數 與分別代替 與，則所得式子 就叫做復變數，並記作s(即令 )。若，則，此時復變數變為實變數，所以實變數是復變數的特殊情形。叫做復變數s的實部，記作，叫做復變數s的虛部，記作，即。
復變數(以下簡稱複數) 有以下幾種表示法：
坐標(點)表示法
由於任一複數 與一對實變數 成一一對應關係，所以可以用直角坐標( )表示之。反之，在平面上建立直角坐標系后，每一個點都可以表示為複數。因此，在複數域中 平面又叫做複平面或s平面。軸叫做實軸，軸叫做虛軸。例如圖1所示為s平面，平面上任一點 可由坐標和 來確定。或者記作。
圖1 坐標表示法
圖2 向量表示法
向量表示法
複數s還可用從原點指向點( )的向量來表示，如圖2所示。向量的長度稱為s的模或絕對值，記作向量 與實軸的夾角 稱為s的輻角，記作。
關於輻角 要注意下列關係：
時，在第一象限； 時，在第二象限；
三角表示法和指數表示法
利用直角坐標與極坐標的關係
複數s可以表示為：這就是複數的三角表示法。
利用歐拉公式： ，可以得到： ，這種形式稱為複數的指數表示法。根據討論問題的需要，可以把複數從一種表示形式轉換為另一種表示形式。
兩個複數乘積的模等於它們的模的乘積；兩個複數乘積的輻角等於它們輻角的和。
根據這個定理，可以說乘積 的向量是從因子 的向量旋轉一個角度 (即 )，並伸長(縮短)到 倍得到的。如圖3所示。特別，當時，乘法變成了只是旋轉。例如 相當於將逆時針旋轉90°，相當於將s順時針旋轉90°。
如果用指數形式表示複數
則乘積定理可以簡明地表示為
兩個複數的商的模等於它們的模的商；兩個複數的商的輻角等於被除數與除數的輻角之差。若 則商定理可以簡明地表示為