歐拉線

萊昂哈德·歐拉於1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的重心在歐拉線上，即三角形的重心、垂心和外心共線，而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。

如右圖，歐拉線（圖中的紅線）是指過三角形的垂心（藍）、外心（綠）、重心（黃）和歐拉圓圓心（紅點）的一條直線。

註：三角形三邊的中點，三高的垂足和三個歐拉點（連結三角形各頂點與垂心所得三線段的中點）九點共圓，稱為歐拉圓。

設H,G,O,分別為△ABC的垂心、重心、外心。聯結AG並延長交BC於D, 則可知D為BC中點。

聯結OD ，又因為O為外心，所以OD⊥BC。聯結AH並延長交BC於E,因H為垂心，所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由於G為重心，則GA:GD=2:1。

聯結CG並延長交BA於F,則可知F為AB中點。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF

聯結FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相減可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以HA:OD=GA:GD=2:1

又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又聯結AG並延長，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三點共線。

還是向量做法，

設△ABC的外心，重心，垂心分別為O，G，H。作△ABC的中點三角形DEF

∵OD⊥AC

∴OD⊥EF

同理OE⊥DF，OF⊥DE

∴O是△DEF的垂心。

又EF∥AC，DF∥AB，DE∥BC且△ABC∽△DEF

∴向量HB=-2向量OD，向量HA=-2向量OF，向量HC=-2向量OE

∴向量HA+向量HB+向量HC=-2向量OD-2向量OE-2向量OF=-2向量OA-2向量OB-2向量OC

又向量BG=2/3向量BD=1/3（向量BA+向量BC）

同理向量CG=1/3（向量CA+向量CB），向量AG=1/3（向量AB+向量AC）

∴向量BG+向量AG+向量CG=向量0

向量HG=向量HA+向量AG=向量HB+向量BG=向量HC+向量CG

向量OG=向量OA+向量AG=向量OB+向量BG=向量OC+向量CG

∴3向量HG=向量HA+向量HB+向量HC，3向量OG=向量OA+向量OB+向量OC

∴向量HG=-2向量OG

如圖所示，設AM為△ABC的中線，H、O分別是垂心和外心，連接AH、OM，則OM⊥BC，AH⊥BC

∴AH∥OM

連接OB、OC，易證∠BAC=∠BOC/2=∠COM

∴OM=OCcos∠COM=Rcos∠BAC（R是△ABC外接圓半徑）

又連接BH並延長交AC於D，則BD⊥AC

∴AH=AD/cos∠CAH=ABcos∠BAC/sin∠ACB=2Rcos∠BAC

∴AH=2OM

設OH和AM交於G，則△AHG∽△MOG

∴AG:GM=AH:OM=2:1

∴G是△ABC的重心，即O、H、G三點共線，且GH:GO=AG:GM=2:1

1 ：平面上共圓的5個點，任取其中3點組成三角形，過其重心作另外兩點連線的垂線，共有10條。則這10線交於一點。

證明：設5個點對應的向量分別是z1, z2, z3, z4, z5，且它們的模相等。

因為|z1|=|z2|，所以0, z1, z2, z1+z2這四個點構成一個菱形，所以它們的對角線垂直，所以垂直於z1、z2的連線就相當於平行於z1+z2。

這樣經過三角形z3, z4, z5的重心，且垂直於z1, z2連線的直線方程就是

z(t) = (z3+z4+z5)/3 + t(z1+z2)，其中t是任意實數。

取 t=1/3，就得到(z1+z2+z3+z4+z5)/3在這直線上。同理可得這點在所有這類直線上。

2：平面上共圓的5個點，任取其中3點組成三角形，過其垂心作另外兩點連線的垂線，共有10條。則這10線交於一點。

3：平面上共圓的5個點，任取其中3點組成三角形，過其九點圓圓心作另外兩點連線的垂線，共有10條。則這10線交於一點。

證明：第2，3個結論緣於以下事實：歐拉線上的四點中，九點圓圓心到垂心和外心的距離相等，而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。

4：在△ABC中，點D,E,F分別為邊BC,CA,AB的中點，連接 DE,EF,FD，則△ABC與△DEF 的歐拉線重合。