有限差分法

微分方程和積分微分方程數值解的方法。基本思想是把連續的定解區域用有限個離散點構成的網格來代替，這些離散點稱作網格的節點；把連續定解區域上的連續變數的函數用在網格上定義的離散變數函數來近似；把原方程和定解條件中的微商用差商來近似，積分用積分和來近似，於是原微分方程和定解條件就近似地代之以代數方程組，即有限差分方程組，解此方程組就可以得到原問題在離散點上的近似解。然後再利用插值方法便可以從離散解得到定解問題在整個區域上的近似解。

在採用數值計算方法求解偏微分方程時，若將每一處導數由有限差分近似公式替代，從而把求解偏微分方程的問題轉換成求解代數方程的問題，即所謂的有限差分法。有限差分法求解偏微分方程的步驟如下：

1、區域離散化，即把所給偏微分方程的求解區域細分成由有限個格點組成的網格；

2、近似替代，即採用有限差分公式替代每一個格點的導數；

3、逼近求解。換而言之，這一過程可以看作是用一個插值多項式及其微分來代替偏微分方程的解的過程（Leon，Lapidus，George F.Pinder，1985）

finite difference method

如何根據問題的特點將定解區域作網格剖分；如何把原微分方程離散化為差分方程組以及如何解此代數方程組。此外為了保證計算過程的可行和計算結果的正確，還需從理論上分析差分方程組的性態，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收斂性和穩定性。對於一個微分方程建立的各種差分格式，為了有實用意義，一個基本要求是它們能夠任意逼近微分方程，這就是相容性要求。另外，一個差分格式是否有用，最終要看差分方程的精確解能否任意逼近微分方程的解，這就是收斂性的概念。此外，還有一個重要的概念必須考慮，即差分格式的穩定性。因為差分格式的計算過程是逐層推進的，在計算第層的近似值時要用到第n層的近似值，直到與初始值有關。前面各層若有舍入誤差，必然影響到後面各層的值，如果誤差的影響越來越大，以致差分格式的精確解的面貌完全被掩蓋，這種格式是不穩定的，相反如果誤差的傳播是可以控制的，就認為格式是穩定的。只有在這種情形，差分格式在實際計算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精確解。關於差分格式的構造一般有以下3種方法。最常用的方法是數值微分法，比如用差商代替微商等。另一方法叫積分插值法，因為在實際問題中得出的微分方程常常反映物理上的某種守恆原理，一般可以通過積分形式來表示。此外還可以用待定係數法構造一些精度較高的差分格式。